学情分析

学生在初一上学期学习线段相关知识时已掌握“同一平面内，两点之间，线段最短”，初二上学期学习轴对称一章时，又接触了最短路径问题，因此对最短路径问题有一定的理解。分类讨论一直都是学生觉得比较难掌握的思想方法，分类不清、分类不全是学生经常犯的错误．

教

学

目

标

知识目标

能运用勾股定理求最短路径问题．

能力目标

能将立体图形中的“最短路径问题”转化为平面图形来解决，感悟转化思想.

情感目标

通过有趣的问题提高学习数学的兴趣；在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学，增强自信心，体现成功感．

教学重点

探索、发现立体图形展开成平面图形各种途径，利用勾股定理求最短路径问题．

教学难点

利用数学中的建模思想构造直角三角形，寻找不同路径，利用勾股定理，解决实际问题．

教学过程

教学环节

教学内容

教学活动

学生活动

设计意图

复习巩固

利用课件出示例题，

引导学生复习利用勾股定理计算三角形的边长．

两点之间线段最短的知识．

学生回顾勾股定理和两点之间线段最短的知识．

帮助学生温故知新

探究问题

类型一：圆柱体中的最短路径

1．如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA₁的端点A到达A₁，若圆柱底面半径为，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离是        ．

让学生思考，考虑到部分学分空间想像能力较差，可以让他们用纸做一个圆柱，待学生做完，利用多媒体动画演示，将圆柱体展开为平面的过程和蚂蚁爬行的路线演示，让学生清晰的看到路径．13

2．如图，圆柱高8cm，底面

半径2cm， BC是上底面的

直径．一只蚂蚁从点A出发，.沿着圆柱的侧面爬行到点B，

则蚂蚁爬行的最短路程是       ．（π的值取3）

解决圆柱体中的最短路径问题的步骤：

类型二：长方体中的最短路径

如图，长方体长、宽、高分别为5cm、3cm 、4cm．一只蚂蚁从顶点A出发沿表面爬到顶点B．求蚂蚁经过的最短路程．

利用多媒体动画演示，将长方体中Ａ点和Ｂ点展开使其在同一平面的几种方法让学生直观的看到展开方法．

考虑将长方体最短路径做成微课．

小结：解决路径最短问题的依据是

                                ．也就是将曲面或多面体展成一个     面，然后连接需求最短路径的两点，构造        三角形，用勾股定理的数学模型去解决．

解决最短路径问题四部曲

1 ．展（立体展平面）

2 ．找（找各种路径）

3 ．算（算各种路径的长度）

4 ．比（比较各种路径的长度）

提问：怎样确定平面上两点间的最短距离？立体图形上的最短距离问题如何解决？

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引导学生思考最短距离怎么体现．怎样计算最短距离？

引导学生思考长方体与正方体有何区别？为什么长方体有六种展开方式？（长，宽，高的组合），为什么排除后只有三种？

引导学生小结解决立体图形上的两点之间最短路径问题的步骤

引导学生将此问题与利用轴寻找最短路径的问题相结合．

学生审题，思考并作答

指明圆柱体、正方体上的数量和展开图上的数量之间一一对应关系，以及如何利用勾股定理进行计算

在教师引导下，学生对六种展开方式分析排除，最终归纳出三种方式计算比较得出最短距离．

总结归纳做题的步骤

将曲线化直线，将此问题转化为利用轴对称解决最短路径问题．

由有趣的实际问题引入，激发学生学习兴趣．

启发学生把立体图形展开成平面图形，并用平面图形的知识来解决立体图形中最短距离问题．注重路径的多样性，渗透分类讨论思想．

使学生体会数学上的转化思想．

通过先寻找“关键点”，再找到不同路径，最终在直角三角形内利用勾股计算最短距离这一过程，使学生再次领悟任何一个几何图形都是由基本元素“点”，“线”，“面”构成，回归几何的本真！

在圆柱体的基础上提升难度，变为正方体，再变为长方体，引导学生由浅入深，认识到要解决立体图形上的最短路径问题一定要将其展开．渗透分类讨论思想．

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巩固练习

有一个如图示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80 cm，高AB=60 cm， 水深为AE=40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．求小动物爬行的最短路线

课后完成

通过配套练习加深学生对本节课所学知识的印象和理解