数学知识和数学思想方法作为小学数学学习的两条线索，一明一暗，相互支撑，其中数学思想方法揭示了数学的本质和发展规律，它可以说是数学的精髓。新课程改革后，小学阶段的数学思想主要有：公理化、符号、集合、模型、化归、恒等与不等、数形结合、函数与对应等；数学方法有：比较、分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎、假设、猜想等。在小学阶段的数学教学中，有意识地向学生渗透一些基本的数学思想方法，是提高学生数学能力和思维品质的重要手段，也是小学数学教学进行素质教育的真正内涵所在。下面结合小学生的特点，具体分析小学阶段可以渗透哪些数学思想方法。 

1．符号化思想 

数学发展到今天，已成为一个符号的世界。英国著名数学家罗素曾说：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。 ”符号化思想即指人们有意识地、普遍地运用符号化的语言去表述研究的对象。符号化思想在整个小学都有较多的渗透，例如，表示数的字母：C、S；v、s、t、r、d；V、h等。字母表示公式：长方形、正方形的面积S=a×b、S=a×a。运算律：a＋b=b＋a、a×b=b×a等。字母表示计量单位符号：m、cm、dm、mm、g、km、t。阿拉伯数字：1、2、3、4、5、6、7、8、9。各种特定的符号：＋、－、×、÷。运算符号：＞、＜、＝、≈等表示关系的符号；（）、[]等 括号；计量单位的符号等。 可见，符号就是数学存在的具体化身，它们有其特定的含义，与自然语言相比，具有简洁性、抽象性、概括性的特点。数学离不开符号，数学处处要用到符号。恰当的符号可以清晰、准确、简明地表达数学思想和数学概念等。在教学时，教师要培养学生的符号化思想，让学生感受到数学的简洁魅力。 

2．集合思想 

把一组对象放在一起作为讨论的范围，这就是集合的思想。在小学数学教科书中，或者是对教师的教学要求中，结合基础的知识，采用图集的思想，这就是在初步渗透集合思想。在小学阶段，哪些地方体现了集合思想呢？ 

一年级教材在教孩子认数的时候，用一个圈把一些图画圈在里面，这就是孩子最初所接触到的集合雏形，也是第一次对小学生渗透这种集合思想。逐渐地在讲解几何图形之间的关系时，用图1来表示三角形的关系，这其实是集合中“子集”的体现；在教学公倍数和公因数，用图2来表示因数和倍数之间的关系，学生能够很清楚地区分出公倍数和公因数，这其实是集合中“交集”的体现。另外并集、差集、空集的思想在小学里也都有体现，但没有子集、交集那样明显看起来就是集合思想的体现，只是渗透在图画的呈现中。当然教师在教学中，也可以结合具体的知识，用集合的方式呈现，潜移默化，让学生感受这一思想，体会这一思想的内在魅力。 

3．极限思想 

我国古代就有对极限思想的思考，古代杰出的数学家刘徽的“割圆术”就是利用极限思想典型。极限思想是研究变量在无限变化中的变化趋势的思想，运用这一思想，人们的思维可以从有限空间向无限空间伸展，从静态向动态发展，从具体到抽象升华。小学数学没有给出极限的概念，也没有专门介绍极限知识，但在数学教学中还是有所体现。首先，让学生从数量上体会极限思想。如学生在学习“自然数”时，知道最小的然数是0，找不到最大的自然数；认识负数时，知道-1、-2、-3下去一直到无穷尽；在“因数和倍数”的教学中，感受一个数的因数是有限的，但倍数是无限的，同样公因数是有限的，但公倍数却是无限的；在学习“循环小数”时，体验到循环小数是无限的；在学习“分数的基本性质”时，知道一个分数通过基本性质的变换可以产生无限多个其他相等的分数……

 其次，可以让学生在空间与几何上体会极限思想。如四年级上学期认识线段、直线和射线，可以引导学生体会线段向一端无限延长就是射线，线段向两端无限延长就是直线，不仅沟通三者之间的关系，而且感受无限延长的意味；在研究角的大小时，学生要能知道角的大小只与张开的角度有关，而与边的长短无关，至于为什么呢，就要用到射线无限延长的极限思想。 

此外，教学方法上也经常渗透极限的思想。比如通过12＋23=23＋12，学生猜想到加法之间可能存在a＋b=b＋a这样的规律，那是不是加法都有这样的规律呢，就要举例验证，整数例子、小数例子、含有0 的特殊例子等，各种例子穷尽了，都没有反例，才能得到我们的结论，在加法里，交换两个加数的位置，和不变，这一结论就是通过无限举例没有反例得出的。

4．对应思想 

对应思想是指对两个集合元素之间联系的把握。许多数学方法来源于对应思想。比如学生在进行计算练习时，常常有如图3

所示的形式出现，这种练习其实就体现了对应的思想。解题时， 要求学生“数形结合”，即看到一道数学题，可以用画图的办法帮助理解，这样图和题相结合，更能帮助学生思考，这里的数和图便存在对应关系；再如小学阶段经常出现的数轴，其实也体现了对应思想，图3数轴的上一个点就对应一个数，任何一个数都能在数轴上找到相对应的点，一一对应，呈现完美。 

5．统计思想 

《数学新课程标准》首次将“统计与概率”作为一个完整的知识板块纳入小学数学课程体系，于是统计教学得到了更多关注，在苏教版新教科书中，几乎每一册都有独立的统计单元。小学数学中的统计思想主要体现在：简单的数据整理和求平均数，简单的统计表和统计图。学生在会整理、制表、作图的同时要能从数据、图表中发现数学问题和数学信息，得出相关的结论。

数学思想是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性把握，数学的精髓，学生获得后可以“随时随地发生作用，使他们受益终身”。因此，数学思想方法的渗透在小学数学教学中越来越受到重视。通过实践探索，我认为可以从以下几条途径来渗透。

 一、备课：研读教材、确立目标、设计预案，挖掘数学思想方法 

“凡事预则立，不预则废。”如果课前教师对教材内容适合渗透哪些思想方法懵然无知，数学思想方法的渗透也就无从谈起了。因此教师在备课时，不应只见直接写在教材上的数学基础知识与技能，而是要深入钻研教材，挖掘隐含在教材中的数学思想方法，在教学目标中予以明确，并将目标落实在教学预设的各个环节中，实现数学思想方法的渗透与数学知识教学的有机融合，使教材呈现的知识技能这条明线与隐含的思想方法的暗线同时延展。例如在“歌手大赛(小数加减法)”一课中，图片呈现了歌手比赛的情境

教材呈现的算法是：9.38-(8.85+0.45)。但在备课过程中，我们没有局限于这种解法。而是充分利用情境提供的信息，挖掘不同解法，明确其中的数学思想方法，并预设了画线段图、小组讨论、交流等活动以促进学生理解。让学生发挥自己的想象力就会有新增解法。例如解法二：9.38-8.85-0.45，应用了假设的思想方法。即假设9号选手的得分要与5号选手相同，扣除了她的专业得分后为0.53分，再减去她实际综合素质得分0.45，就是她比5号选手低的分数。解法9.38-0.45-8.85。同理：解法三：将8.85-8.50=0.35。0.88-0.45＝0.43，0.43-0.35=0.08，应用了对应的思想方法，即分别计算两位选手的各项成绩的相差分数，然后根据这两个相差数综合确定最后结果；解法四：8.85-8.50=0.35，就从0.88-0.35=0.53，再用

0.53-0.45＝0.08，应用了等量变换的思想，即从5号选手的综合素质得分中拿0.35加到专业得分中。使两位选手的专业得分相同，再比较这时两人的综合素质得分即可。0.88-0.45=0.43，8.85-0.43=8.42，8.50-8.42＝0.08，解法同理。有了充分的预设，教师在教学中就能胸有成竹。数学思想方法的渗透就能有的放矢。   

二、上课：创设情境、建立模型、解释应用，渗透数学思想方法  

1、新授课：探索知识的发生与形成，渗透数学思想方法

数学知识发生、形成、发展的过程也是其想想方法产生、应用的过程。在新授课中，教师应向学生提供丰富的、典型的、正确的直观背景材料，采取“问题情境－建立模型－解释、应用与拓展”的模式，使学生在掌握数学知识技能的同时，深入到数学的“灵魂深处”，真正领略数学的精髓——数学思想方法。比如，在质数、合数的概念教学中让学生用小正方形拼长方形(如下图)，把质数、合数的概念潜藏在图形操作中，明白“质数个”小正方形只能拼成一个长方形，而“合数个”小正方形至少能拼成两个不同形状的长方形(含正方形)，渗透数形结合的思想，再通过给这些数分类。引入质数、合数的概念，渗透分类思想方法。 

2、练习课：经历知识的巩固与应用，渗透数学思想方法  

数学知识的巩固，技能的形成，智力的开发，能力的培养等需要适量的练习才能实现。在练习课的教学中不仅要有具体知识的巩固、技能的训练，而且要运用恰当的形式有意识地渗透数学思想方法。以《6的乘法口诀》练习课为例。在完成想一想、算一算的练习中，先让学生独立计算，再交流自己的算法。以“7×6+6”为例，借助青蛙图片的演示来理解式子的意义，运用数形结合启发学生将上式转化为8×6来计算，渗透变换的思想，如图所示：想：在计算下面图中每个图中各有多少个格子后，教师启发学生思考，在实际操作中，通过动手剪一剪、拼一拼，把图形转化成长方形后直接用口诀6×3、4×3来计算，从而感受到数学转化思想的魅力。 

3、复习课：学会知识的整理与复习，强化数学思想方法  

复习是在学生掌握了基本的数学知识体系、具备了一定的解题经验、初步认识了某些数学思想方法的基础上进行的。因此教师在上复习课前，要总体把握教材中隐含的思想方法，明确前后知识间的联系，做到“瞻前顾后”，把数学思想方法的渗透落实其中，适时地对某些数学思想方法进行揭示、概括和强化，使学生把握知识的本质和内在的规律，逐步体会数学思想方法的价值。如《多边形的面积》的复习，教师可引导学生思考：平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式各是怎样推导的?有什么共同点?让学生提炼概括，得出其中重要的思想方法——转化思想。学生一旦掌握了数学思想方法，不仅能使学生的知识结构更完善，还特别有助于今后进一步的学习和运用，当学生面对新的问题时，比如圆的面积、圆柱体的体积计算公式的推导时，将懂得怎样应用数学思想方法去思考，逐步实现从“学会”到“会学”这一质的飞跃。

三、作业：掌握知识、形成技能、发展智力，应用数学思想方法    

精心设计作业也是渗透数学思想方法的一条途径。好的数学作业，既能巩固知识技能，又有利于培养学生应用数学思想方法解决问题的能力，一举两得。因此教师不仅要设计好作业，更要不失时机地恰当地予以点评，让学生在完成作业中领悟到其中的数学思想方法。例如在学习了《分数加减法》后教师设计了这样的作业：

        + + =

        + + + =                                                         

+ + + + =

。。。。。。

+ + + + +。。。。。。=

学生在完成前四道题时可谓一路过关，却止步于最后一题。此时教师不要急于给出答案，学生通过观察前几道题之间的联系、每道题中加数与和的联系，学生能发现其中的规律，再类推得到最后一题的结果。教师结合上图引导学生概括出其中的思想与方法：类比思想、建模思想、极限思想、数形结合的思想。当学生面对这样有挑战性的作业时，要“跳起来摘果子”，学生在运用数学思想方法去分析、解决问题的过程中逐步发展了能力，提高了数学素养。 

四、课外：培养兴趣、增长见识、培养能力，提升数学思想方法

学校开展数学课外活动是课内教学的重要补充。根据学生的学习水平在年段里开设有关数学思想方法内容的讲座，如果平时教学中的数学思想方法的点滴渗透是“美味点心”的话，那么专题讲座对学生来说就是“丰盛大餐”了，学生可以比较系统地了解常见的数学思想方法以及应用，拓展学生的眼界：开展课外数学实践活动可以发展学生应用数学思想方法解决问题的能力，培养学生的动手实践能力和创新意识：开展数学智力竞赛，不但可以激发优生学习数学的积极性，也可以考查学生掌握数学思想方法的情况：学生编相关的数学小报、出板报等活动，可以增长见识。形式多样的数学课外活动，使数学思想方法潜移默化地渗透到数学学习中，引导学生在学与用中提升对数学思想方法的认识。

五、创设成功情境，激励积极参与 

苏霍姆林斯基说过：“成功的体验是一种巨大的情绪力量，它可以促进学生好好学习的愿望。”每个学生都渴望成功，然而由于学生的先天条件和后天的兴趣、爱好有差异，课堂教学中应该尽量避免统一的要求，采取分层次、多方位的教育理念。学生一旦有小发现、小制作、小发明，应及时给予赞扬，热情扶持，尤其是学困生，更需要体验成功的喜悦，希望老师发现自己的优点并得到激励与肯定。

我在教学中，注意多给学生成功的体验：例如让他们提出一个问题，引导他们解决一个问题，适当给予表扬和鼓励，或是在作业批语中多一些鼓励、多一些喝彩，如“你真聪明”“你真棒”“你真了不起”“你真能干”“你真行”“你好样的”……帮助学生认识自我，增强自信心。常言道：“自信是成功的第一秘诀。 ”只有学生建立了自信，才能更进一步调动他们的学习积极性，诱发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛，从而达到最佳的学习状态。

在实际的数学课堂教学中，往往需要几种方法的综合交替运用来完成，要结合学生的年龄特点、教学内容以及生活中的实际问题，创设有效教学情境，解放学生的感官，放松他们的情绪，激发他们的学习兴趣，才能增强他们的学习自信心和主动探求知识的欲望，从而提高学习效率。