18.1.2　平行四边形的判定

第1课时　平行四边形的判定(1)

文昌中学  肖顺标

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1．理解并掌握三角形的中位线的定义及其性质定理．

2．能够利用三角形的中位线定理解决有关的问题．

【过程与方法】

经历探索三角形中位线性质定理的证明过程，体会转化的思想方法，进一步发展学生操作、观察、归纳、推理的能力．

【情感态度与价值观】

培养合情推理能力，体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法，激发学习热情．

二、重难点目标

【教学重点】

三角形中位线的性质定理．

【教学难点】

利用三角形中位线的性质定理解决相关问题．

教学过程

一、情境导入

我们已经知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它就是一个中心对称图形，具有如下的一些性质：

1．两组对边分别平行且相等；

2．两组对角分别相等；

3．两条对角线互相平分．

那么，怎样判定一个四边形是否是平行四边形呢？当然，我们可以根据平行四边形的原始定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定．那么是否存在其他的判定方法？

二、合作探究

探究点一：两组对边分别相等的四边形是平行四边形[来源:学科网ZXXK]

 如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．

解析：根据题意，利用全等可证明AD＝FE，DF＝AE，从而可判断四边形DAEF为平行四边形．

解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，∴△ABC≌△DBF(SAS)，∴AC＝DF＝AE.同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．

方法总结：利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”时，证明边相等，可通过证明三角形全等解决．

探究点二：两组对角分别相等的四边形是平行四边形[来源:学科网]

 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.

(1)求∠D的度数；[来源:学科网]

(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．

解析：(1)可根据三角形的内角和为180°得出∠D的大小；(2)根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”进行证明．

(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，∴∠D＝180°－∠2－∠1＝180°－40°－85°＝55°；

(2)证明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB＝40°，∠DCB＋∠B＝180°，∴∠DAB＝∠1＋∠CAB＝125°，∠DCB＝180°－∠B＝125°，∴∠DAB＝∠DCB.又∵∠D＝∠B＝55°，∴四边形ABCD是平行四边形．

方法总结：根据两组对角分别相等判断四边形是平行四边形，是解题的常用思路．

探究点三：对角线相互平分的四边形是平行四边形

 如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD的中点．求证：

(1)△AOC≌△BOD；

(2)四边形AFBE是平行四边形．

解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD；(2)此题已知AO＝BO，要证四边形AFBE是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE＝OF即可．

证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.在△AOC和△BOD中，∵AO＝BO，(∠COA＝∠DOB，)∴△AOC≌△BOD(AAS)；[来源:学#科#网Z#X#X#K][来源:Zxxk.Com]

(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.∵E、F分别是OC、OD的中点，∴OF＝2(1)OD，OE＝2(1)OC，∴EO＝FO.又∵AO＝BO，∴四边形AFBE是平行四边形．

方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．

探究点四：平行四边形的判定定理(1)的应用

【类型一】 利用平行四边形的判定定理(1)证明线段或角相等

 如图，在平行四边形ABCD中，AC交BD于点O，点E，点F分别是OA，OC的中点，请判断线段DE，BF的位置关系和数量关系，并说明你的结论．

解析：根据平行四边形的性质“对角线互相平分”得出OA＝OC，OB＝OD.利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形BFDE是平行四边形，从而得出DE＝BF，DE∥BF.

解：DE＝BF，DE∥BF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵E，F分别是OA，OC的中点，∴OE＝OF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴DE＝BF，DE∥BF.

方法总结：平行四边形的性质也是证明线段相等或平行的重要方法．

【类型二】 平行四边形的判定定理(1)的综合运用

 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F.

(1)求证：△ABE≌△CDF；[来源:学&科&网Z&X&X&K][来源:学科网ZXXK]

(2)连接BF、DE，试判断四边形BFDE是什么样的四边形？写出你的结论并予以证明．

解析：(1)根据“AAS”可证出△ABE≌△CDF；(2)首先根据△ABE≌△CDF得出AE＝FC，BE＝DF.再利用已知得出△ADE≌△CBF，进而得出DE＝BF，即可得出四边形BFDE是平行四边形．

(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA.∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB＝∠DFC＝90°.在△ABE和△CDF中，AB＝CD，(∠FCD＝∠EAB，)∴△ABE≌△CDF(AAS)；

(2)解：四边形BFDE是平行四边形．理由如下：∵△ABE≌△CDF，∴AE＝FC，BE＝DF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAC＝∠BCA.在△ADE和△CBF中，AE＝FC，(∠DAE＝∠BCF，)∴△ADE≌△CBF(SAS)，∴DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形．

方法总结：熟练运用平行四边形的性质，可证明三角形全等，证明边相等，再利用两组对边分别相等可判定四边形是平行四边形．

三、板书设计

1．平行四边形的判定定理(1)

两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

对角线相互平分的四边形是平行四边形．

2．平行四边形的判定定理(1)的应用[来源:学科网ZXXK]

教学反思

1.在整个教学过程中，以学生看、想、议、练为主体，教师在学生仔细观察、类比、想象的基础上加以引导点拨．判定方法是学生自己探讨发现的，因此，应用也就成了学生自发的需要．

2.在证明命题的过程中，学生自然将判定方法进行对比和筛选，或对一题进行多解，便于思维发散，不把思路局限在某一判定方法上．