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数列求和

教学目的    1．熟练掌握和应用等差、等比数列的前n项和公式．

2．熟练掌握常考的错位相减法，裂项相消以及分组求和这些基本方法，注意计算的准确性和方法选择的灵活性．

教法       讲解法            学法   分析，讨论，练习

教学重点   使学生熟练掌握常考的错位相减法，裂项相消以及分组求和这些基本方法，注意计算的准确性和方法选择的灵活性．

教学难点   非等差、等比数列求和的几种常见方法

教学过程

一复习提问（知识梳理）

数列求和的常用方法

1．公式法

直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和

(1)等差数列的前n项和公式：S_n＝＝na₁＋d；

(2)等比数列的前n项和公式：S_n＝

2．倒序相加法

如果一个数列{a_n}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．

3．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．

4．裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，求得其和．

5．分组转化求和法

一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．

6．并项求和法

一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a_n＝(－1)ⁿf(n)类型，可采用两项合并求解．

二   题型讲解

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)等比数列{a_n}的公比q＝，a₈＝1，则S₈＝(　　)．

 A．254      B．255      C．256      D．257

2．(2011·潍坊模拟)设{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁＝2且a₁，a₃，a₆成等比数列，则{a_n}的前n项和S_n＝(　　)．A.＋ B.＋C.＋D．n²＋n

3．(2011·北京海淀模拟)等差数列{a_n}的通项公式为a_n＝2n＋1，其前n项的和为S_n，则数列的前10项的和为(　　)．A．120 B．70C．75  D．100

4．(2011·沈阳六校模考)设数列{(－1)ⁿ}的前n项和为S_n，则对任意正整数n，S_n＝(　　)．A.                                          B.

C.                                          D.

5．若S_n＝1－2＋3－4＋…＋(－1)^n－1·n，S₅₀＝________.

能力提升

【例1】►已知数列{a_n}是首项a₁＝4，公比q≠1的等比数列，S_n是其前n项和，且4a₁，a₅，－2a₃成等差数列．(1)求公比q的值；

(2)求T_n＝a₂＋a₄＋a₆＋…＋a_2n的值．

 应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式．

【训练1】 在等比数列{a_n}中，a₃＝9，a₆＝243，求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和公式S_n，并求a₉和S₈的值．

【例2】►(2012·包头模拟)已知数列{x_n}的首项x₁＝3，通项x_n＝2ⁿp＋nq(n∈N^*，p，q为常数)，且x₁，x₄，x₅成等差数列．求：

(1)p，q的值；(2)数列{x_n}前n项和S_n的公式．

不能由等差数列、等比数列的前n项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和．

【训练2】 求和S_n＝1＋＋＋…＋.

【例3】►在数列{a_n}中，a₁＝1，当n≥2时，其前n项和S_n满足S＝a_n.

(1)求S_n的表达式；(2)设b_n＝，求{b_n}的前n项和T_n.

 使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．

【训练3】 在数列{a_n}中，a_n＝＋＋…＋，又b_n＝，求数列{b_n}的前n项和S_n.

【例4】►(2011·辽宁)已知等差数列{a_n}满足a₂＝0，a₆＋a₈＝－10.

(1)求数列{a_n}的通项公式；(2)求数列的前n项和．

. 用错位相减法求和时，应注意

(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；

(2)在写出“S_n”与“qS_n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S_n－qS_n”的表达式．

【训练4】 设数列{a_n}满足a₁＋3a₂＋3²a₃＋…＋3^n－1a_n＝，n∈N^*.

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设b_n＝，求数列{b_n}的前n项和S_n.

课堂检测

1已知等差数列{a_n}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设b_n＝(4－a_n)q^n－1(q≠0，n∈N^*)，求数列{b_n}的前n项和S_n.

2已知数列{a_n}是首项为a₁＝，公比q＝的等比数列，设b_n＋2＝3loga_n(n∈N^*)，数列{c_n}满足c_n＝a_n·b_n.(1)求数列{b_n}的通项公式；(2)求数列{c_n}的前n项和S_n.

三  课堂小结

一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．

四课后作业         251页限时训练一，二，三

五课后记

在利用裂项相消法求和时应注意：

(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；

(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项．