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方程的根与函数零点第一课时教案

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第三章 函数与方程

3.1.1 方程的根与函数零点

一．学习目标

1．知识与技能

(1).理解函数零点的概念．(重点)

(2).初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系．(重点、难点)

(3)会求基本初等函数的零点（重点）

2．过程与方法

培养学生观察、思考、分析、猜想、验证的能力，并从中体验从特殊到一般思想及函数与方程思想．

3．情感、态度与价值观

从函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值．

二．重点难点

重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件.

难点：探究发现函数零点的存在性．

三．专家建议

以学生熟悉的二次函数图象和二次方程为平台，通过让学生观察方程和函数形式上的联系，引导学生得出三个重要的等价关系，体现 "化归"和"数形结合"的数学思想，为探索零点存在定理做好铺垫．在此基础上，以学生熟悉的一次函数、二次函数为载体，运用数形结合的思想，借助多媒体，以动态的形式演示函数值在零点附近的变化规律，通过学生的观察、思考、交流、探索归纳出连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内一定有零点的条件：f(a)·f(b)<0，并通过范例及变式训练对零点存在的判定条件加以训练，突出重点的同时化解难点．

四．教学方法

自学探究法，公式训练法

五．教学过程

●情景导入

方程解法史话: 花拉子米(约780～约850)给出了一次方程和二次方程的一般解法; 阿贝尔(1802～1829)证明了五次以上一般方程没有求根公式, 今天我们来学习方程的根与函数的零点！

●新知探究

【问题导思】　

给定二次函数y＝x2＋2x－3，其图象如下：

1．方程x2＋2x－3＝0的根是什么？

【提示】　方程的根为－3,1.

2．函数的图象与x轴的交点是什么？

【提示】　交点为(－3,0)，(1,0)．

3．方程的根与交点的横坐标有什么关系？

【提示】　相等．

4．通过图象观察，在每一个交点附近，两侧函数值符号有什么特点？

【提示】　函数值符号异号．

1．函数的零点

(1)定义：

如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．

(2)性质：

①当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号．

②两个零点把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号．

2．二次函数零点与二次方程实根个数的关系

判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根 有两相异实根x1，x2(x1

没有实根

二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点 有两个零点x1，x2 有一个二重零点x1＝x2 没有零点

典例分析

类型1 求函数的零点

例1. 求下列函数的零点．

(1)f(x)＝－x2－2x＋3；

(2)f(x)＝x4－1.

【思路探究】　根据函数零点与相应方程的根之间的关系，求函数的零点就是求相应方程的根．

【解析】　(1)∵f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)，

∴方程－x2－2x＋3＝0的两根分别是－3和1.

故函数的零点是－3,1.

(2)∵f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，

∴方程x4－1＝0的实数根是－1和1.

∴函数的零点为±1.

【总结提升】函数零点的求法：

(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；

(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．

【变式训练】求函数y＝(ax－1)(x＋2)的零点．

【解】　(1)当a＝0时，令y＝0得x＝－2；

(2)当a≠0时，令y＝0得x＝1a或x＝－2.

①当a＝－12时，函数的零点为－2；

②当a≠－12时，函数的零点为1a，－2.

综上所述：(1)当a＝0或－12时，零点为－2；

(2)当a≠0且a≠－12时，零点为1a，－2.

类型2 函数零点个数的判断

例2.判断下列函数的零点个数．

(1)f(x)＝x2－7x＋12；

(2)f(x)＝x2－1x.

【思路探究】(1)令f x ＝0―→解方程求根―→根的个数

2 令f x ＝0―→令h x ＝x2，g x ＝1x―→作h x 、g x 图象―→判断两图象的交点个数

【解析】　(1)由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0，得

Δ＝49－4×12＝1＞0，

∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4，

∴函数f(x)有两个零点．

(2)法一　由x2－1x＝0，得x2＝1x.

令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝1x.

在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数f(x)＝x2－1x只有一个零点．

法二　令f(x)＝0，即x2－1x＝0，

∵x≠0，∴x3－1＝0，

∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0，

∴x＝1或x2＋x＋1＝0.

∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式

Δ＝12－4＝－3＜0，∴方程x2＋x＋1＝0无实数根．

∴函数f(x)只有一个零点．

1．二次函数零点个数的判断依据Δ与0的大小关系．

2．y＝f(x)－g(x)类型函数零点个数的两种判断方法

(1)所求转化为函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的个数，通过画y＝f(x)－g(x)的图象解决．

(2)所求转化为方程f(x)－g(x)＝0，即f(x)＝g(x)根的个数，再转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)两个函数的图象的交点个数．

【变式训练】若f(x)＝x|x|－2，则y＝f(x)的零点个数为________．

【解析】　当x＞0时，f(x)＝x2－2＝0，得x＝2或x＝－2(舍)，

当x≤0时，f(x)＝－x2－2＝0无解，∴f(x)有一个零点．

【答案】　1

函数 的零点个数为(　　)

A．0 B．1

C．2 D．3

解答：选A.函数的定义域为 当x>0　时,f(x)>0，当x<0时，f(x)<0，所以函数没有零点，故选A.

类型3 函数零点性质的应用

例3. 求实数m的取值范围，使关于x的方程x2＋mx＋3＝0的两根x1，x2(x1≠x2)．

(1)都大于0；(2)都小于0；(3)都大于2.

【思路探究】　令f(x)＝x2＋mx＋3，由于函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标，所以上述三问均可利用二次函数的图象来确定零点，进而确定参数m的取值范围．

【解析】　(1)依题意

∵Δ＞0f 0 ＞0－m2＞0，即m2－12>03>0－m2>0，∴m＜－23.

(2)依题意

∵Δ＞0f 0 ＞0－m2＜0，即m2－12>03>0－m2<0，∴m＞23.

(3)依题意

∵Δ>0－m2>2f 2 >0，即m2－12>0－m2>24＋2m＋3>0∴m>23或m<－23m<－4m>－72，∴不存在m，使方程两根都大于2.

【总结提升】

解决有关根的分布问题应注意以下几点：

(1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题；

(2)结合草图考虑四个方面：①Δ与0的大小；②对称轴与所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向；

(3)写出由题意得到的不等式；

(4)由得到的不等式去验证图象是否符合题意，这类问题充分体现了函数与方程的思想．

【变式训练】

将③中"两个零点都大于2"改为"一个大于2，一个小于2"求实数m的取值范围．

【解】　根据题意知：∵Δ>0f 2 <0∴m>23或m<－232m＋7<0∴m<－72.

五、课堂小结

1.函数的零点的定义．

2.等价关系

3．判断函数的零点，可利用的结论：

若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解.

六．板书设计

方程的根与函数零点

七．当堂检测

1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是(　　)

A．－12，－1　　　　　 B.12，1

C.12，－1　　　 D．－12，1

【解析】　令f(x)＝2x2－3x＋1＝0

得x＝12或x＝1，故选B.

【答案】　B

2．函数f(x)＝x3－2x2＋2x的零点个数为(　　)

A．0　　　 B．1　　　　

C．2　　　 D．3

【解析】　∵f(x)＝x3－2x2＋2x＝x(x2－2x＋2)，

又x2－2x＋2＝0，Δ＝4－8＜0，

∴x2－2x＋2≠0，∴f(x)的零点只有1个，故选B.

【答案】　B

3．函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0－2＋x2，x>0的零点个数为(　　)

A．3　　　 B．2　　　　

C．1　　　 D．0

【解析】　令f(x)＝0，

则x2＋2x－3＝0(x≤0)或x2－2＝0(x>0)，

解得：x＝－3或x＝2符合题意，故选B.

【答案】　B

4．求函数y＝x3－7x＋6的零点．

【解】　∵x3－7x＋6＝(x3－x)－(6x－6)

＝x(x2－1)－6(x－1)

＝x(x＋1)(x－1)－6(x－1)

＝(x－1)(x2＋x－6)

＝(x－1)(x－2)(x＋3)，

∴由x3－7x＋6＝0即(x－1)(x－2)(x＋3)＝0得x1＝－3，x2＝1，x3＝2.

∴函数y＝x3－7x＋6的零点为－3,1,2.

八、课后拓展

知识延展--一元二次方程根的分布情况

下面为几类常见二次方程根的分布情况及需满足的条件(只讨论a>0的情况，a<0时可变形为a>0的情况).

根的分布(m

x1

Δ>0，－b2a0.

m

Δ>0，－b2a>m，f m >0.

x1

f(m)<0

m

Δ>0，m<－b2a0，f n >0.

m

f m >0，f n <0，f p >0.

只有一根在(m，n)之间

Δ＝0，m<－b2a

或f(m)·f(n)<0

m

p

f m >0，f n <0，f p <0，f s >0.