作业标题：高三函数复习教案 作业周期 : 2019-04-15 — 2019-06-01
所属计划：高中数学教学计划
作业要求： 请根据实际情况,写一篇高三函数复习的教案. 要求: 把作业直接答在文本框内,否则不合格.
发布者：李卫广
提交者:学员王幸福 所属单位:西华县第一高级中学 提交时间: 2019-04-26 09:11:44 浏览数( 0 ) 【举报】
1． 函数的零点与方程的根
(1)函数的零点
对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．
(2)函数的零点与方程根的关系
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
(3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
注意以下两点：
①满足条件的零点可能不唯一；
②不满足条件时，也可能有零点．
(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．
2． 函数模型
解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.
考点一 函数的零点
例1 (1)已知函数f(x)＝logax＋x－b (a>0，且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.
(2)函数f(x)＝的零点个数是________．
答案 (1)2 (2)3
解析 (1)∵2<a<3，∴f(x)＝logax＋x－b为定义域上的单调函数．f(2)＝loga2＋2－b，f(3)＝loga3＋3－b.
∵lg 2<lg a<lg 3，∴<<1.
又∵b>3，∴－b<－3，∴2－b<－1，
∴loga2＋2－b<0，即f(2)<0.
∵1<<，3<b<4，∴－1<3－b<0，
∴loga3＋3－b>0，∴f(3)>0，即f(2)·f(3)<0.
由x0∈(n，n＋1)，n∈N*知，n＝2.
(2)依题意，当x>0时，在同一个直角坐标系中分别作出y＝ln x和y＝x2－2x＝(x－1)2－1的图象，可知它们有两个交点；当x≤0时，作出y＝2x＋1的图象，可知它和x轴有一个交点．综合知，函数y＝f(x)有三个零点．
(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．
(2)提醒：函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．
(1)(2012·天津改编)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是________．
(2)已知函数f(x)＝ax＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a、b满足2a＝3,3b＝2，则n＝________.
答案 (1)1 (2)－1
解析 (1)因为f′(x)＝2xln 2＋3x2>0，
所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上递增，
且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，
所以有1个零点．
(2)f(x)＝ax＋x－b的零点x0就是方程ax＝－x＋b的根．
设y1＝ax，y2＝－x＋b，
故x0就是两函数交点的横坐标，如图，
当x＝－1时，y1＝＝log32<y2＝1＋b＝1＋log32，
∴－1<x0<0，∴n＝－1.
考点二 与函数有关的自定义问题
例2 若对于定义在R上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意实数都成立，则称f(x)是一个“λ－伴随函数”．有下列关于“λ－伴随函数”的结论：①f(x)＝0是常数函数中唯一一个“λ－伴随函数”；②f(x)＝x是“λ－伴随函数”；③f(x)＝x2是“λ－伴随函数”；④“－伴随函数”至少有一个零点．
其中正确结论的个数是________．
先理解新定义“λ－伴随函数”的意义，然后对给出的函数逐一用定义检验，从而判断所给命题的正确性．
答案 1
解析 对于①，若f(x)＝c≠0，取λ＝－1，
则f(x－1)－f(x)＝c－c＝0，
即f(x)＝c≠0是一个“λ－伴随函数”，故①不正确．
对于②，若f(x)＝x是一个“λ－伴随函数”，
则(x＋λ)＋λx＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故②不正确．
对于③，若f(x)＝x2是一个“λ－伴随函数”，
则(x＋λ)2＋λx2＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故③不正确．
对于④，若f(x)是“－伴随函数”，
则f(x＋)＋f(x)＝0，取x＝0，
则f()＋f(0)＝0，
若f(0)，f()任意一个为0，函数f(x)有零点；
若f(0)，f()均不为0，
则f(0)，f()异号，由零点存在性定理，
知f(x)在(0，)内存在零点x0，
所以④正确．
考点三 函数模型及其应用
例3 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)＝|－a|＋2a＋，x∈[0,24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0，]，若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M(a)．
(1)令t＝，x∈[0,24]，求t的取值范围；
(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？
(1)分x＝0和x≠0两种情况，当x≠0时变形使用基本不等式求解．
(2)利用换元法把函数f(x)转化成g(t)＝|t－a|＋2a＋，再把函数g(t)写成分段函数后求M(a)．
(1)解答函数应用题的关键
将实际问题中的数量关系转化为函数模型，常见模型有：一次或二次函数模型；分式函数模型；指数式函数模型等．
(2)对函数模型求最值的常用方法
单调性法、基本不等式法及导数法．
(3)本题中的函数与方程思想：①在求t的范围时，把t看作是x的函数，在求M(a)时，把综合放射性污染指数看作是t的函数．②在确定综合放射性污染指数是否超标时，用到了方程的思想．
某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y＝mf(x)，其中f(x)＝当药剂在水中的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．
(1)如果投放的药剂质量为m＝4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？
(2)如果投放药剂质量为m，为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值．
解 (1)由题意，得当药剂质量m＝4时，
y＝
当0<x≤4时＋8≥4，显然符合题意．
当x>4时≥4，解得4<x≤16.
综上0<x≤16.
所以自来水达到有效净化一共可持续16天．
(2)由y＝m·f(x)＝得
当0<x≤4时，y＝＋2m在区间(0,4]上单调递增，即2m<y≤3m；
当x>4时，y′＝<0，
∴函数在区间(4,7]上单调递减，即≤y<3m，
综上知，≤y≤3m，
为使4≤y≤10恒成立，只要≥4且3m≤10即可，
即≤m≤.
所以应该投放的药剂量m的最小值为.
1． 函数与方程
(1)函数f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有根⇔函数f(x)的图象与x轴有交点．
(2)函数f(x)的零点存在性定理
如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使f(c)＝0.
①如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f(x)在区间[a，b]上是一个单调函数，那么当f(a)·f(b)<0时，函数f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使f(c)＝0.
②如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)>0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内不一定没有零点．
③如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，那么当函数f(x)在区间(a，b)内有零点时不一定有f(a)·f(b)<0，也可能有f(a)·f(b)>0.
2． 函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决．
3． 应用函数模型解决实际问题的一般程序
⇒⇒⇒
与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.
1． 已知函数f(x)＝()x－log2x，实数a，b，c满足f(a)·f(b)·f(c)<0(0<a<b<c)，若实数x0为方程f(x)＝0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是________．(填序号)
①x0<b；②x0>b；③x0<c；④x0>c.
答案 ④
解析 函数f(x)＝()x－log2x
在其定义域(0，＋∞)上是减函数，
∵0<a<b<c，∴f(a)>f(b)>f(c)．
又∵f(a)f(b)f(c)<0，
则f(a)<0，f(b)<0，f(c)<0，
或者f(a)>0，f(b)>0，f(c)<0.
若f(a)<0，f(b)<0，f(c)<0，则x0<a，
若f(a)>0，f(b)>0，f(c)<0，则b<x0<c，
故x0>c不可能成立，故填④.
2． 若f(x)＋1＝，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间(－1,1]内，g(x)＝f(x)－mx－m有两个零点，则实数m的取值范围是________．
答案 (0，]
解析 设x∈(－1,0)，则x＋1∈(0,1)，
∴f(x)＝－1＝－1，
∴画出f(x)在(－1,1]上的图象、g(x)＝f(x)－mx－m在(－1,1]上有两个零点，即f(x)＝m(x＋1)有两个不同根，
即y＝f(x)与y＝m(x＋1)有两个不同交点．
如上图，当过(－1,0)的直线处于l与x轴之间时，
1． 若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
答案 －，－
解析 由，得.
∴g(x)＝－6x2－5x－1的零点为－，－.
2． 函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是________．
答案 (0,3)
解析 因为f′(x)＝2xln 2＋>0，
所以f(x)是增函数，由条件可知f(1)f(2)<0，
即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，
解之得0<a<3.
3． (2013·天津改编)函数f(x)＝2x|log0.5 x|－1的零点个数为________．
答案 2
解析 当0<x<1时，f(x)＝2xlog0.5x－1，令f(x)＝0，则log0.5x＝x
由y＝log0.5x，y＝x的图象知，在(0,1)内有一个交点，即f(x)在(0,1)上有一个零点．
当x>1时，f(x)＝－2xlog0.5x－1＝2xlog2x－1，
令f(x)＝0得log2x＝x，
由y＝log2x，y＝x的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f(x)在(1，＋∞)上有一个零点，故有2个零点．
4． 根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝
(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________．
答案 60,16
解析 因为组装第A件产品用时15分钟，
所以＝15， ①
所以必有4<A，且＝＝30， ②
联立①②解得c＝60，A＝16.
5． 若存在a∈[1,3]，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，则实数x的取值范围________．
答案
解析 由ax2＋(a－2)x－2>0得(x2＋x)a－2(x＋1)>0.
令f(a)＝(x2＋x)a－2(x＋1)．
方法一 (补集法)
由题意得即
解得－1≤x≤，
所以所求范围为该集合的补集，即为x<－1或x>.
方法二 (直接法)由题意得f(1)>0或f(3)>0，解得．
6． 若关于x的方程4cos x－cos2x＋m－3＝0恒有实数解，则实数m的取值范围是________．
答案 [0,8]
解析 设cos x＝t∈[－1,1]，则t2－4t＋3－m＝0，
得m＝t2－4t＋3在[－1,1]上是单调递减的，
所以m∈[0,8]．
7． 设定义域为R的函数f(x)＝则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为________．
答案 7
解析 由y＝2f2(x)－3f(x)＋1＝0得
f(x)＝或f(x)＝1，
如图画出f(x)的图象，由f(x)＝知有4个根，
由f(x)＝1知有3个根，故共有7个零点．
8． 已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
答案 (1，＋∞)
解析 画出函数y＝f(x)与y＝a－x的图象，如图所示，所以a>1.
9． (2013·辽宁改编)已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝________.
答案 －16
解析 f(x)＝[x－(a＋2)]2－4－4a，g(x)＝－[x－(a－2)]2＋12－4a，在同一坐标系内作f(x)与g(x)的图象
依题意知，函数H1(x)的图象(实线部分)，
函数H2(x)的图象(虚线部分)．
∴H1(x)的最小值A＝f(a＋2)＝－4－4a，
H2(x)的最大值B＝g(a－2)＝12－4a，
因此A－B＝(－4－4a)－(12－4a)＝－16.
二、解答题
10．(2012·陕西改编)设函数fn(x)＝xn＋bx＋c(n∈N＋，b，c∈R)．
(1)设n≥2，b＝1，c＝－1，证明：fn(x)在区间内存在唯一零点；
(2)设n＝2，若对任意x1，x2∈[－1,1]，有|f2(x1)－f2(x2)|≤4，求b的取值范围．
(1)证明 b＝1，c＝－1，n≥2时，fn(x)＝xn＋x－1.
∵fnfn(1)＝×1<0，
∴fn(x)在内存在零点．
又当x∈时，f′n(x)＝nxn－1＋1>0，
∴fn(x)在上是单调递增的，
∴fn(x)在内存在唯一零点．
(2)解 当n＝2时，f2(x)＝x2＋bx＋c.
对任意x1，x2∈[－1,1]都有|f2(x1)－f2(x2)|≤4等价于f2(x)在[－1,1]上的最大值与最小值之差M≤4.
据此分类讨论如下：
①当>1，即|b|>2时，
M＝|f2(1)－f2(－1)|＝2|b|>4，与题设矛盾．
②当－1≤－<0，即0<b≤2时，
M＝f2(1)－f2＝2≤4恒成立．
③当0≤－≤1，即－2≤b≤0时，
M＝f2(－1)－f2＝2≤4恒成立．
综上可知，－2≤b≤2.
11．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值Q(a)．
解 (1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L＝(x－3－a)(12－x)2，x∈[9,11]．
(2)L′(x)＝(12－x)2－2(x－3－a)(12－x)
＝(12－x)(18＋2a－3x)．
令L′＝0得x＝6＋a或x＝12(不合题意，舍去)．
∵3≤a≤5，∴8≤6＋a≤.
在x＝6＋a两侧，L′的值由正变负．
所以①当8≤6＋a<9，即3≤a<时，
Lmax＝L(9)＝(9－3－a)(12－9)2＝9(6－a)；
②当9≤6＋a≤，即≤a≤5时，
Lmax＝L＝2＝43，
所以Q(a)＝
故若3≤a<，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝9(6－a)(万元)；若≤a≤5，则当每件售价为元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝43(万元)．
12．已知函数f(x)＝ex－m－x，其中m为常数．
(1)若对任意x∈R有f(x)≥0成立，求m的取值范围；
(2)当m>1时，判断f(x)在[0,2m]上零点的个数，并说明理由．
解 (1)f′(x)＝ex－m－1，
令f′(x)＝0，得x＝m.
故当x∈(－∞，m)时，ex－m<1，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(m，＋∞)时，ex－m>1，f′(x)>0，f(x)单调递增．
∴当x＝m时，f(m)为极小值，也是最小值．
令f(m)＝1－m≥0，得m≤1，
即若对任意x∈R有f(x)≥0成立，则m的取值范围是(－∞，1]．
(2)由(1)知f(x)在[0,2m]上至多有两个零点，当m>1时，f(m)＝1－m<0.
∵f(0)＝e－m>0，f(0)f(m)<0，
∴f(x)在(0，m)上有一个零点．
∵f(2m)＝em－2m，令g(m)＝em－2m，
∵当m>1时，g′(m)＝em－2>0，
∴g(m)在(1，＋∞)上单调递增，
∴g(m)>g(1)＝e－2>0，即f(2m)>0.
∴f(m)·f(2m)<0，∴f(x)在(m,2m)上有一个零点．
故f(x)在[0,2m]上有两个零点．