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高三数学一轮复习教案：函数的周期性

教材分析：函数的奇偶性、周期性是函数的一个重要的性质，为高考中的必考知识点；常用函数的概念、图像、单调性、周期性、对称性等综合考核。

学情分析：大多数学生了解函数的奇偶性、周期性的概念，但对判断函数奇偶性的判断和应用，对函数的周期的求法还没有掌握。

教学目标：结合具体函数，了解函数奇偶性和周期性的含义；会运用函数图像判断函数奇偶性和周期，利用图像研究函数的奇偶性和周期。

教学重点、难点：函数奇偶性和周期的判断，结合图像解决函数的奇偶性和周期性问题。

教学流程：

一、回顾上节课内容（问答式）

1.奇偶函数的判断基本步骤：

（1）先求定义域，定义域不对称则函数为非奇非偶函数；

（2）定义域对称则利用定义判断函数奇偶性。

2.奇偶函数的图像特征：奇函数图像关于原点（0，0）对称；偶函数关于y 轴对称。

二、函数的周期

1.周期的概念

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫f(x)的周期，如果所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)最小正周期。

判断：最小正周期相同的两个函数的和，其最小正周期是不变。

答：错,不一定不变

2.周期函数的性质

(1)周期函数不一定有最小正周期，若T≠0是f(x)的周期，则ｋT(k∈Z,k≠0)也是的周期，周期函数的定义域无上、下届。

（2）如何判断函数的周期性:

⑴定义;

⑵图象;

⑶利用下列补充性质：设a>0，

①函数y=f(x),x∈R,若f(x+a)=f(x-a)，则函数的周期为2a 。

②函数y=f(x),x∈R,若f(x+a)=-f(x)，则函数的周期为 2a 。

③函数y=f(x),x∈R,若 f（x+a）=- ，则函数的周期为 2a 。

④函数f(x)时关于直线 x=a 与x=b 对称，那么函数f(x)的周期为2|b-a|

了解证明过程： 

证明：由已知得：f(a-x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x)

             ∴f[2(b-a)+x]=f[b+(b-2a+x)]

                          =f[b-(b-2a+x)]

                          =f(2a-x)

             ∴T=2|b-a|

特例：若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x=a对称，那么其周期为 T=2a。

⑤若函数f(x)关于直线x=a对称，又关于点(b,0)对称那么函数f(x)的周期是4|b-a|。

特例：若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x=a对称，那么其周期为 T=4a。

三、例题分析与课堂练习

例1.已知定义在R上函数y=f(x)满足f（x+2）=f（x-2）且y=f(x)是偶函数,

（1）求函数周期。

1. 当x∈[0,2]时，f(x)=2x-1,求当x∈[-4,0]时，f（x）的解析式。

   利用图像分析

   变式练习:已知f(x+2)=-f(x)当x∈（0,4]时,f（x）=-x²+1

   （1）当x∈（-4,0）时，求f(x)的解析式。

   （2）求f(x)的解析式。

   解：(1)∵f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x）∴T=4

   设x∈（-4,0），则x+4∈（0,4），∴f（x+4）=-（x+4）²+1

2. 设x∈（4n，4n+4] n∈Z，则x-4n∈（0,4]

       ∴f（x）=f（x-4n）=-（x-4n）²+1，n∈Z

例2．设函数f（x）在（-∞，+∞）上满足f（2-x），f（7-x）=f（7+x）且在闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0

(Ⅰ）试判断函数的周期性；

(Ⅱ）试求方程f（x）=0在闭区间[－20，20]上的根的个数，并证明你的结论.

解: 由      f（2-x）=f（2+x）             f（x）=f（4-x）

                                                               f（4-x）=f（14-x）            f（7-x）=f（7+x）             f（x）=f（14-x）

f（x）=f（x+10）

所以：此函数为周期函数，最小正周期为10 .

(II)由f（x）=f（x+10）

又f（3）=f（1）=0        f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0

故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有两个解,

从而可知函数y=f（x）在[0,20]上有4个解,

在[-20，0]上有4个解,

所以函数y=f（x）在[-20,20]上有8个解。

四、课堂小结

1.函数的周期性定义

2.特殊函数周期

3.利用函数的周期解决有关函数问题。

五、课后作业

1填空：①．函数y=f(x),x∈R,若f(x+2)=f(x-2)，则函数的周期为    。

②若f(x+1)=-f(x)，则函数的周期为   。

③若 f（x+3）=- ，则函数的周期为     。

④函数f(x)时关于直线 x=1 与x=-3 对称，那么函数f(x)的周期为    。

⑤若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x=1对称，那么其周期为    。

2.定义在R上的函数f(x)满足f（x+2）=-f（x）,且当x∈[-1,1]时，f（x）=x³

（1）求f(x)在[1，5]上的表达式.

1. 若A={x|f（x）>a,x∈R}且A≠Φ,求实数a的取值范围.

   3.设y=f（x）是定义在D={x|x≠0}，且满足对任意x₁，x_2∈D有 f（x_‍1，x_‍2）=f（x_‍1‍）+f（_‍x_‍2‍）

   （1）求f（1）的值。

   （2）判断函数的奇偶性并证明结论。

   （3）如果f（4）=1，f（x-1）<2,且f（x）在f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围。