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函数的奇偶性与周期性

考情分析

1．判断函数的奇偶性．

2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值．

3．考查函数的单调性与奇偶性的综合应用．

基础知识

1．奇、偶函数的概念

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．

一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．

奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．

2．奇、偶函数的性质

 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．

(2)在公共定义域内

①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；

②两个偶函数的和、积都是偶函数；

③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．

3．周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

注意事项

1.奇、偶函数的定义域关于原点对称．

函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．

2.(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.

(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D₁，D₂，那么在它们的公共定义域上：

奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

3.判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．

4.(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．

(3)若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝f(x)(1)或f(x＋a)＝－f(x)(1)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2a；

(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.

典型例题

题型一　判断函数的奇偶性

【例1】下列函数：

①f(x)＝ ＋ ；②f(x)＝x³－x；③f(x)＝ln(x＋)；④f(x)＝2(3x－3－x)；⑤f(x)＝lg1＋x(1－x).其中奇函数的个数是(　　)．

A．2       B．3       C．4       D．5

【变式1】 判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝|x＋3|－3(4－x2)；

(2)f(x)＝x²－|x－a|＋2.

题型二　函数奇偶性的应用

【例2】已知f(x)＝x2(1)(x≠0)．

(1)判断f(x)的奇偶性；(2)证明：f(x)＞0.

【变式2】 已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f(1－m)＋f(1－m²)＜0的实数m的取值范围．

题型三　函数的奇偶性与周期性

【例3】已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2^x－1，

(1)求证：f(x)是周期函数；

(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；

(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．

【变式3】 已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 013)＋f(2 015)的值为(　　)．

A．－1  B．1  C．0  D．无法计算

重难点突破

【例4】设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.

(1)求f(π)的值；

(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；

(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调增(或减)区间．

巩固提高

1．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f2(5)＝(　　)．

A.－2(1)      B.－4(1)      C.4(1)       D.2(1)

2． f(x)＝x(1)－x的图象关于(　　)．

A．y轴对称   B．直线y＝－x对称

C．坐标原点对称   D．直线y＝x对称

3．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(　　)．

A．f (x)＋|g(x)|是偶函数     B．f(x)－|g(x)|是奇函数

C．|f(x) |＋g(x)是偶函数     D．|f(x)|－g(x)是奇函数

4．对于函数f(x)＝asin x＋bx＋c(其中，a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是(　　)．

A．4和6   B．3和1

C．2和4   D．1和2

5．若函数f(x)＝x²－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.