当前位置 :项目首页 > 研修作业 > 正文

正弦、余弦函数的图象（教学设计）

教学目的：

知识目标：（1）利用单位圆中的三角函数线作出的图象，明确图象的形状；
（2）根据关系，作出的图象；
（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题；

能力目标：（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法；
（2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法； 

德育目标：通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神；

教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象；五点法作图.

教学难点：作余弦函数的图象，周期性；

授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学.

教学过程：

一、创设情境,复习引入：

1． 弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

2.正、余弦函数定义：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）

P与原点的距离r()

则比值叫做的正弦    记作：  

     比值叫做的余弦    记作：  

3.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有

，

向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．

二、讲解新课：   

1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．

（1）函数y=sinx的图象

第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x值—弧度制下角与实数的对应）.

第二步：在单位圆中画出对应于角，，,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.

第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．

根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R的图象.

     把角x的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象. 

（2）余弦函数y=cosx的图象

用几何法作余弦函数的图象，可以用“反射法”将角x的余弦线“竖立”[把坐标轴向下平移，过作与x轴的正半轴成角的直线，又过余弦线A的终点A作x轴的垂线，它与前面所作的直线交于A′，那么A与AA′长度相等且方向同时为正，我们就把余弦线A“竖立”起来成为AA′，用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们平移，使起点与x轴上相应的点x重合，则终点就是余弦函数图象上的点．] 

也可以用“旋转法”把角 的余弦线“竖立”（把角x 的余弦线O₁M按逆时针方向旋转到O₁M₁位置，则O₁M₁与O₁M长度相等，方向相同.）根据诱导公式,还可以把正弦函数x=sinx的图象向左平移单位即得余弦函数y=cosx的图象. （课件第三页“平移曲线” ）

正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．

2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：

(0,0)  (,1)  (p,0)  (,-1)  (2p,0)

余弦函数y=cosx   xÎ[0,2p]的五个点关键是

(0,1)  (,0)  (p,-1)  (,0)  (2p,1)

只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．

优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以

3、例题选讲：

例1 (课本P32例1)画出下列函数的简图：

（1） y＝1＋sinx ，ｘ∈〔0，２π〕

（2） ｙ＝－cosx ，ｘ∈〔0，２π〕

解：（1） 按五个关键点列表：

描点、连线，画出简图。

(2)按五个关键点列表：

描点、连线，画出简图。

变式训练1：用五点法作函数的简图.

例2：分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合：

变式训练2：根据三角函数的图象，求满足下列条件的x的集合

   （1）    （2）

课堂练习（课本P34练习NO：1；2）

总结：图象平移的原则。

三、课堂小结、巩固反思

1．正弦、余弦曲线  几何画法和五点法   

2．注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系

四、课时必记

1、“五点（画图）法”

在精确度要求不高时，先作出函数ｙ＝sinｘ的五个关键点，再用平滑的曲线将它们顺次连结起来，就得到函数的简图。这种作图法叫做“五点（画图）法”。

（1）、请你用“五点（画图）法” 作函数ｙ＝sinｘ，ｘ∈〔0，２π〕的图象。

解：按五个关键点列表：

描点、连线，画出简图。

（2）、试用“五点（画图）法”作函数ｙ＝cosｘ, ｘ∈〔0，２π〕的图象。

　　　解：按五个关键点列表：

　　 描点、连线，画出简图。

五、[分层作业]

A组：

1、（课本P46习题1.4 A组 No：1）

2、用“五点画”作出下列函数的图象

（1）y=sinx-1         (2)y=cosx-1

B组：

1、（课本P46习题1.4  B组 No：1）

2、分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合：

C组：

1、用“五点画”作出函数y=sin2x的图象。