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“正弦函数、余弦函数的图象”教学设计

●教材分析

三角函数是基本初等函数之一,它是中学数学的重要内容之一,也是学习高等数学的基础,研究办法主要是代数变形和图象分析,因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了.本章的知识既是解决实际生产问题的工具,又是学习后继内容和高等数学的基础.三角函数是数学中主要的数学模型之一,是研究度量几何的基础,又是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具．

●教学目标

知识与技能：1．理解并掌握用正弦线作正弦函数图象的方法；

2．理解并熟练掌握用五点法作正弦函数和余弦函数简图的方法．

过程与方法：通过简谐运动实验，感知正弦、余弦曲线的形状；学生经历利用正弦线作正弦函数图象的过程，理解并掌握用正弦线作正弦函数图象的方法；通过观察发现确定函数图象形状的关键点.

情感态度与价值观：体会数形结合、化归转化的数学思想.

●教学重点

用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象以及五点法画正弦函数、余弦函数的图象．

●教学难点

用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．

●教学方法：讲授、启发、诱导发现教学．

●教    具：多媒体、实物投影仪

教学实录：

一．课题导入

师:同学们，通过前面的学习，我们知道，当角的概念推广之后，在弧度制下，实数集与角的集合之间就形成了一一对应的关系，而当角确定之后，正弦值随之确定，余弦值也随之确定，这样，任意给定的一个实数x,有唯一确定的值sinx(或cosx)与之对应。由这个法则所确定的函数y=sinx (或y=cosx)叫做正弦函数(或余弦函数).

师: 正弦函数和余弦函数的定义域是多少？

生：定义域为R.

师:在遇到一类新的函数时，我们通常会先作出它的图象，然后通过图像来研究它的性质.

通过图象可以研究函数的哪些性质？

生：值域、单调性、奇偶性、最大值、最小值等.

师:这节课我们首先来研究正弦函数和余弦函数的图象.

（教师板书，引出课题：正弦函数、余弦函数的图象）

师:在研究正弦函数和余弦函数图象之前,请同学们观看一个物理实验.

（多媒体展示 “简谐运动的位移和时间关系”图象，让学生经历从“生活世界”到“科学世界”，感受三角函数变化的特定规律，并从直观上认识正弦函数和余弦函数图象.）

生：专心观察纸板上形成的曲线形状.

师:通过刚才的物理实验，我们对正弦函数和余弦函数图象已经有了一个直观的认识，但这是从物理实验中得到的，在数学中，我们如何利用所学过的数学知识来作出正弦函数和余弦函数图象呢？

下面我们首先来研究正弦函数y=sinx，xÎ[0,2p]的图象.

二．讲授新课

1．利用单位圆中的正弦线作函数的图象

师:以前我们用描点法作函数图象的时候，一般分哪几个步骤？

生：列表、描点、连线．

师:在列表的时候，我们一般在定义域内任意取一些自变量的值，然后计算出相对应的函数值.但是，对于正弦函数来说，它具有“周而复始”的变化规律，根据诱导公式一——终边相同的角同名三角函数值相等，我们总可以把任意角的三角函数化成[0,2p]内的三角函数来研究，因此，我们先来研究y=sinx在[0,2p]的图象．

（让学生清楚为什么先研究y=sinx在[0,2p]的图象，而不像研究其它函数的图象那样，直接在整个定义域上研究）

教师引导学生列表，

师生共同讨论总结描点法的弊端, 当x取值时，y的值大都是近似值，加之作图上的误差，不易描出对应点的精确位置.

师:（进一步提出问题）如何作出比较精确的正弦函数的图象？

教师引导学生进行分析：要作出比较精确的正弦函数的图象，关键是要把“列表”中的点的纵坐标精确的标出来，注意到点的纵坐标其实都是正弦值，因此，问题转化成如何在坐标系中表示正弦值。因为在前面已经学习过三角函数线——三角函数线从“形”的角度刻画了三角函数值的大小，这样学生很自然的想到利用单位圆中的三角函数线来表示点的的纵坐标——正弦值．

（这样设计比较自然，合理，符合学生认知的基本规律．）

师:引导学生回顾三角函数线的相关知识——如何做正弦线?

生：建立坐标系,以原点为圆心做单位圆，与角α终边交于点P，过点P做PM垂直于x轴于点M，则有向线段MP叫正弦线．

师:多媒体演示利用正弦线作正弦函数y=sinx，xÎ[0,2p]的图象，边演示，边讲解，并不时的提问学生，与学生交流．

……

师:在刚才的作图过程中，我们同样是利用了描点法，所不同的是，在描点的时候，我们利用了三角函数线，使得描出来的点比较精确．

（对作图过程进行小结，让学生进一步体会用正弦线描点的精确性）

师:我们知道正弦函数的定义域是R，但是刚才得到的仅仅是[0, 2π]上的图象．

提出问题：如何由y=sinx，xÎ[0,2p]的图象得到y=sinx，xÎR的图象．

2．由函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象得到函数y=sinx，x∈R的图象

教师结合图形，引导学生继续研究[2π,4π]上的图象，让学生观察，发现：[2π,4π]上的图象和[0, 2π]上的图象都是由相同的正弦线通过平移过去得到的，因此，[2π,4π]上的图象和[0, 2π]上的图象在形状上是完全一样的，只是位置不同，即要得到[2π,4π]上的图象只需把[0, 2π]上的图象像右平移2π个单位，其他区间上的图象也可以用类似的方法得到．

师生形成共识:把函数y=sinx, x∈[0, 2π]的图象沿x轴左右平移，每次平移2π个单位，就可以得到y=sinx,x∈R的图象.

师：多媒体演示由y=sinx, x∈[0, 2π]的图象得到y=sinx,x∈R的图象的过程．

师:（小结）由y=sinx, x∈[0, 2π]的图象得到y=sinx,x∈R的图象的过程中，我们实际上根据的是诱导公式一：sin(x+2kp)=sinx, kÎZ．

（先让学生从直观上感受[2π,4π]上的图象，再用诱导公式一从理论的高度上解释、认识，学生较容易接受，如果一下就利用诱导公式一来解释由y=sinx, x∈[0, 2π]的图象得到y=sinx,x∈R的图象的过程，比较抽象，学生不易理解）

师:以后要作正弦函数的图象，关键先作出哪个区间上的图象？

生:先作[0, 2π]的图象，然后沿x轴左右平移，每次平移2π个单位，就可以得到y=sinx,x∈R的图象．

3．用“五点法”作正弦函数的简图

师:在以后的学习中，我们将不断作出正弦函数的图象，同学们想一想，如果每次作正弦函数的图象都用这种方法的话，麻烦不麻烦？

生:虽然精确，但很麻烦．

师:（进一步提出问题：）在精确度要求不太高时，如何作正弦函数的图象呢？

师:引导学生观察与思考：观察我们用单位圆中的正弦线作出的函数y＝sinx，xÎ[0，2p]的图象，你发现有哪几个点在确定图象的形状起着关键作用？ 

生:观察、思考、发现：在确定图象的形状起着关键作用五个点：(0,0)、(,1)、(π,0)、(,-1)、(2π,0).

师:（小结：）讲解“五点法”，在精确度要求不太高时，要作y＝sinx，xÎ[0，2p]的图象，只需先描出五个关键的点，再用光滑的曲线把它们连接起来.这种作图的方法称为“五点法”，这五个关键的点分别是：最高点，最低点以及与x轴的交点，每个点的横坐标的取值是有规律的——每隔取一个值．

4． 由正弦函数的图象得到余弦函数的图象

师:（过渡）到这里，我们这节课的第一个问题——正弦函数的图象就解决了，对于余弦函数的图象，我们是否可以用类似的方法来研究？

生:可以，但比较麻烦．

师:要求学生课后用余弦线作余弦函数的图象，并提出问题：以正弦函数的图象为基础，你能不能很快作出余弦函数的图象？

探究：你能根据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，通过适当的图象变换得到余弦函数的图象吗？

（教师组织学生讨论、交流引导学生利用诱导公式由正弦函数的图象得出余弦函数的图象，并动态演示过程．）

师：我们学过的哪个诱导公式能够实现正弦和余弦的互化？是需要把正弦化余弦，还是余弦化正弦？

生1：把余弦化正弦，；

师：（继续引导）还没有其它的诱导公式能够实现余弦化正弦？

生2：；

师：（对学生的回答表示肯定与赞赏）非常好！要作的图象，只要作或的图象。从函数图象变换的角度考虑，如何由y＝sinx的图象得到或的图象，哪一个更简单？

生：由y＝sinx的图象得到的图象，需要经过两次图象变换，而由y＝sinx的图象得到的图象只要经过一次变换即向左平移个单位，所以后者更简单.

师：这样，我们通过平移，就得到了余弦函数的图象．

（通过探究，使学生从函数解析式之间的关系思考函数图象之间的关系，进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法，向学生渗透化归转化的数学思想）．

5． 用“五点法”作余弦函数的简图

师：同样，以后我们要作余弦函数的图象，关键也是先作出[0，2p]上的图象．

师：（探究：）类似于正弦函数图象的五个关键点，你能找出余弦函数的五个关键点吗？

生：通过观察类比，确定余弦函数图象的五个关键点(0,1)、( ,0)、( π,-1)、(,0)、(2π,1).

师：（总结方法）

   在精确度要求不太高时，先作出函数y＝sinx和y=cosx的五个关键点，再用光滑的曲线将它们顺次连结起来，就得到函数的简图。这种作图法叫做“五点（画图）法”． 

师：（小结）到这里，我们这节课的两个问题就都解决了.我们主要是学习了作三角函数图象的两种方法：利用三角函数线作正弦函数的图象和利用“五点法”作正弦函数、余弦函数的简图.用三角函数线作函数的图象虽然精确但比较麻烦，在今后的学习中，我们更多的是用“五点法”，它更实用.

下面我们就一起用“五点法”来作与正弦函数和余弦函数有关的简单函数的图象.

6．典例讲解

示例1:（1）用“五点法”作函数y=1+sinx, x∈[0, 2π]上的简图；

（2）用“五点法”作函数y=-cosx, x∈[0, 2π]上的简图.

（对于（1），教师重点、详细讲解，并多媒体演示过程,对于（2），则由学生练习，独立完成.）

教师个别指导，学生列表,描点,师点评，并及时纠正学生作图过程中存在的问题.

师：（进一步提出思考，引导学生从图象变换的角度了解图象间的关系）你能否从函数图象变换的角度出发，利用y=sinx，xÎ[0,2p]的图象，得到y＝1＋sinx,xÎ[0, 2p]的图象？同样的，如何利用y=cosx，xÎ[0,2p]的图象，得到y=-cosx，xÎ[0, 2p]的图象？

（教师多媒体演示，学生观察图象间的关系.在课堂教学中，教师在教学中的主导作用必须以确定学生主体地位为前提，注重学生与教师相互交流、共同参与，鼓励学生质疑、探究，让学生感受和体验数学知识产生、发展和应用的过程.）

三、巩固练习

1、在同一坐标系内，用五点法分别画出函数y=sinx，xÎ[0, 2p]和 y=cosx，xÎ[-,]的简图，并说出它们之间的关系.

（学生练习，教师个别指导）

四、总结提升

师:这节课的研究学习就到这里了,请大家回顾一下这节课的探索和收获.

生1:我们学习了用三角函数线作图,“五点法”作图；

生2:复习了函数的图象变化从不同的函数形式挖掘出它们相同之处.

师:（在学生自行总结的基础上补充总结）说的好！这些正是这节课的重点所在.

1.利用正弦线作正弦函数的图象（精确）；

2.运用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象（简图）；

3.利用正弦函数、余弦函数的图象研究函数的性质（数形结合）

五、自我评价

课本第46页习题A组第1题.

课后反思：

比较成功的地方：

1．教学思路清晰，各个环节过渡比较自然，课堂教学设计得比较紧凑．

2．教学设计对于正弦曲线、余弦曲线首先从实验入手形成直观印象，然后探究画法，列表，描点、连线——“描点法”作图，对于函数y＝sinx，当x取值时，y的值大都是近似值，加之作图上的误差，很难认识新函数y＝sinx的图象的真实面貌.因为在前面已经学习过三角函数线，这就为用几何法作图提供了基础.这样设计比较自然，合理，符合学生认知的基本规律．

3．利用正弦线作出y＝sinx在[0, 2p]内的图象，再得到正弦曲线，这里借助角周而复始的变化，体会后面性质“周期”，这样的设计由局部到整体，符合探究的一般方法．

4．对于“五点法”老师让学生通过观察、学生讨论、进一步合作交流得到“五点法”作图，也是本节课中一大的亮点，充分体现以学生为主的教学思路．

5．通过展示课件，生动形象地再现三角函数线的平移和曲线形成过程．使原本枯燥地知识变得生动有趣，激发学生的兴趣．

6．在得到正弦函数的图象后，通过一个探究，引导学生利用诱导公式，结合图象变换研究余弦函数的图象，体现了新课改中倡导的“自主探究、合作交流”的教学理念，有利于培养学生主动探究的意识．

需要改进的地方：

1．前面单摆实验学生观察时间稍长，作为课堂引入，时间的把握要恰当，否则会影响课堂后面内容的安排．

2．在由正弦函数的图象得到余弦函数的图象的探究过程中，设计了让学生“自主探究、合作交流”的教学思路，但学生对“合作—交流”的热情不够，不太主动——在调动学生积极参与课堂活动方面做得不够好．

3．由于导入的过程时间稍长，加之本节课的容量过大，尽管在例题的教学过程中及时的改变了教学策略，把例1中的第（2）小题交由学生练习，还是导致了学生练习时间较少．