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正弦函数、余弦函数的图像的教学设计

正弦函数 余弦函数的图像教学设计

教学目标

一．知识与技能

1.理解正弦函数余弦函数的图像和画法，借助图像变换，了解函数之间的图像内在联系。

2.通过三角函数的图像的几种画法列表描点法，五点法，图像平移法等方法，体会各种方法的特点及他们在作图时的操作步骤，总结各种方法的优点和使用局限性。

二．过程与方法

通过实验演示，让学生经历图像画法的过程与方法，通过对图像的感知，形成正弦曲线的初步认识，进而去探索余弦曲线的图像特点和画法，养成发现，探索，总结，归纳的思维习惯，学会遇到新问题时善于运用学过的知识取分析和解决问题。

三．情感态度价值观

通过本节的学习，让学生体会数学中的图形美，体验自主学习，合作探究的学习方法带来的成功感，渗透抽象问题形象化的学习方法，加深数形结合思想的认识，为以后的知识学习打下良好的思想基础。

教学重点

正弦函数余弦函数的图像。

教学难点

将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点，正余弦函数图象之间的关系。

课时安排 1课时

教具 三角板 圆规

教学过程

Ⅰ.导入新课

前面我们学习了三角函数的定义和三角函数之间的变形关系，包括同角三角函数之间基本关系和诱导公式等，但是到现在为止，我们只是从概念上了解了它的定义，而对于三角函数的数据变化特点没有做更深入的研究，我们知道，以前我们研究函数时，都是先了解它的定义，再研究它的图像和性质，如定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，对称性等，再研究它在实际问题中的应用。所以三角函数作为一种特殊的函数，也需要对其图像和性质做进一步研究，今天我们先来学习正弦，余弦函数的图像特点。

实验一：请同学们做一做本节课本中介绍给大家的“简谐运动”实验。

器材：塑料瓶，细绳，铁丝，细沙，纸板。

目的：观察实验结果得到“正弦曲线”或“余弦曲线”的直观图象，从宏观上对图像有一个整体了解。

操作步骤：按照课本页介绍的步骤操作，并观察结果。

结论：纸板上出现一条“简谐运动”的图像，物理学中叫“正弦曲线”或“余弦曲线”，它表示漏斗对平衡位置的位移s{纵坐标}随时间t(横坐标)变化的情况。（指导学生参考课本图1.4-1和图1.4-2）

上述实验给我们一个正弦函数，余弦函数的一个直观图像的感觉，那么如何画出这两种函数的精确图像呢？也就是说，在平面直角坐标系中，它们应该是什么样的形状和位置呢？

Ⅱ.讲授新课

实验二：利用正弦线画出正弦函数的图像。

器材：彩色粉笔，直尺（学生模仿老师在黑板上的前半部分操作自主去完成后半部分的操作，教师可以指导学生画坐标系单位圆，取单位圆上的特殊角位置，正弦线的位置，直线平移工作由学生完成。）

目的：观察实验结果得到“正弦曲线”或“余弦曲线”的精确图象，从微观上对图像有一个精确了解。

操作步骤：

一：在直角坐标系的x轴上取点O₁，以O₁为圆心，单位长为半径作单位圆，从圆O_1与与x轴的交点A起，把⊙O₁十二等分；

二：十二等分后得0,, ,,…2p 等角，作出相应角的正弦线；

三：将x轴上从0到2p一段分成12等份

四：取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合；

五：用光滑的曲线把上述正弦线的终点连接起来，得y=sinx，xÎ[0,2p]的图象；

 提出问题：如何得到正弦函数 图像？

前面我们学习过诱导公式一：,所以函数的图像与函数的图像形状完全一样，于是只要将函数的图像向左，向右平行移动每次个单位长度，就可以得到正弦函数的图像。

由此我们发现正弦函数的图像是一条波浪线，那么余弦函数的图像应该是怎样的呢？要怎么画，它与正弦函数图像有没有联系？能否根据诱导公式，以正弦函数的图像为基础，通过图像变换得到余弦函数的图像呢？（提出问题，让学生思考,体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同,感知两个函数的整体形状,为下一步学习正弦函数、余弦函数的性质做准备）

讨论结果:由诱导公式：得把正弦函数y=sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度即可得到余弦函数图象。

正弦函数y=sinx,x∈R的图象和余弦函数y=cosx,x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线。

上述方法作图虽然精确，但画起来较繁琐，我们从新观察正弦函数的图像，看看上面有哪些点比较特殊？（让学生观察）

结论：波浪线的波峰和波谷，以及波浪线与x轴的交点处较特殊。故关键点有五个,它们是:(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1).，画出这五个点，再用光滑的曲线将它们连接起来，就得到了函数的简图，因此非常的实用。

活动：根据五点法画正弦曲线的观点，再用五点法画余弦函数的图像。

例题师范：

例1 画出下列函数的简图

(1)y =2sinx,  x∈[0,2π]   (2)y=, x∈[0,2π]   (3)y =﹣cosx  , x∈[0,2π].

解析：第一，二题教师给学生示范规范的操作步骤，第三题让学生自主完成，教师指导学生在操作步骤中不规范的地方和需要注意的地方即可。

解:(1,2 )按五个关键点列表:

描点并将它们用光滑的曲线连接起来：

(3)按五个关键点列表:

描点并将它们用光滑的曲线连接起来：

例2 画出函数 的简图。

活动：教师引导学生观察函数的图像并思考的意义，发现只要将sinx的图像在x轴下方的部分沿着x轴对折到x轴上方即可，其次与的图像关系符合学生学过的函数f(x)与-f(x)的关系，即两者关于x轴对称，就可以得到的图像。给学生一段思考的时间，再让学

生独立完成，可以请几位学生上讲台画图，然后师生共同讨论图像的形状和特点。

课堂小结：

以提问的方式，由学生反思学习内容并回答，教师再做补充。

1.  正弦函数图象是用什么样的方法得到的？

2.  如何运用图象变换从正弦曲线得到余弦曲线？

3.  五点法作图的依据和操作步骤有哪些？

作业：课本习题2.4  A组 1.

教学设计