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1.4.2（1）正弦、余弦函数的性质(教学设计)

教学目的：

知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；

能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。

德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

教学重点：正、余弦函数的周期性

教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用

授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学.

教学过程：

一、创设情境,导入新课：

1．现实生活中的"周而复始"现象：

（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……

（2）现在下午2点30，那么每过24小时候是几点？

（3）路口的红绿灯（贯穿法律意识）

2．数学中是否存在"周而复始"现象，观察正（余）弦函数的图象总结规律

正弦函数 性质如下：

（观察图象） 1 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；

2 规律是：每隔2 重复出现一次（或者说每隔2k ,k Z重复出现）

3 这个规律由诱导公式sin(2k +x)=sinx可以说明

结论：象这样一种函数叫做周期函数。

文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；

符号语言：当 增加 （ ）时，总有 ．

也即：（1）当自变量 增加 时，正弦函数的值又重复出现；

（2）对于定义域内的任意 ， 恒成立。

余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。

二、师生互动，新课讲解：

1．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

问题：

（1）正弦函数 ， 是不是周期函数，如果是，周期是多少？（ ， 且 ）余弦函数呢？

（2）观察等式 是否成立？如果成立，能不能说 是y=sinx的周期？

（3）若函数 的周期为 ，则 ， 也是 的周期吗？为什么？

（是，其原因为： ）

2.最小正周期：T往往是多值的（如y=sinx 2 ,4 ,…,-2 ,-4 ,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

y=sinx, y=cosx的最小正周期为2 （一般称为周期）

从图象上可以看出 ， ； ， 的最小正周期为 ；

3、例题讲解

例1（课本P35例2） 求下列三角函数的周期：

① ② （3） ， ．

解：（1）∵ ，

∴自变量 只要并且至少要增加到 ，函数 ， 的值才能重复出现，

所以，函数 ， 的周期是 ．

（2）∵ ，

∴自变量 只要并且至少要增加到 ，函数 ， 的值才能重复出现，

所以，函数 ， 的周期是 ．

（3）∵ ，

∴自变量 只要并且至少要增加到 ，函数 ， 的值才能重复出现，

所以，函数 ， 的周期是 ．

变式训练1：求下列三角函数的周期：

（1）y=sin3x （2）y=cos （3）y=3sin

(4) y=sin(x+ ) (5) y=cos(2x+ )

解：1 sin(3x+2 )=sin3x 又sin(3x+2 )=sin3(x+ )

即：f (x+ )=f (x) ∴周期T=

2 cos =cos( )=cos

即：f (x+6 )=f (x) ∴T=6

3 3sin =3sin( +2 )=3sin( )=f (x+8 )

即：f(x+8 )=f(x) ∴T=8

4 sin(x+ )=sin(x+ +2 ) 即f(x)=f(x+2 )

∴T=2

5 cos(2x+ )=cos[(2x+ )+2 ]=cos[2(x+ )+ ]

即：f(x+ )=f(x) ∴T=

由以上练习，请同学们自主探究T与x的系数之间的关系。

小结：形如y=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A 0, x R) 周期

y=Acos(ωx+φ)也可同法求之

一般结论：函数 及函数 ， 的周期

课堂巩固练习2 快速求出下列三角函数的周期

(1)y=sin （2） y=cos4x+1 (3) y= (4)y=sin( )

(5)y=3cos(- )-1

三、课堂小结：1.周期函数定义：对定义域内任意x,都有f(x+T)=f(x).

2.y=sin x与y=cos x的周期都是2k ,最小正周期是2π.

3. 及 的周期

四、作业布置 1、P52 3 2、金太阳导学案与固学案

4． 奇偶性

请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？

(1)余弦函数的图形

当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。

例如：

f(- )= ,f( )= ,即f(- )=f( )；……

由于cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x).

以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=cosx的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上，这时，我们说函数y=cosx是偶函数。

定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

(2)正弦函数的图形

观察函数y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？

这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。

也就是说，如果点（x,y）是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数y=sinx的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇函数。

定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)=－f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数。

如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。

注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：

（1）其定义域关于原点对称；

（2）f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时。

首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于f(x)还是等于- f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。

例2： 判断下列函数的奇偶性

(1)y=sinxcosx (2)y=cos2x

变式训练2：判断下列函数的奇偶性

（1）y=sinx+cosx (2)y=sin2x

5.单调性

从y＝sinx，x∈［－ ］的图象上可看出：

当x∈［－ ， ］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1.

当x∈［ ， ］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1.

结合上述周期性可知：

正弦函数在每一个闭区间［－ ＋2kπ， ＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［ ＋2kπ， ＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.

余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.

例3：求函数y= 的单调递增区间。

变式训练3：求函数y= 的单调递减区间。

6．最大值与最小值。

正弦函数y=sinx当x= 时取最大值1，当x= 时取最小值-1。

余弦函数y=cosx当x= 时取最大值1，当x= 最取最小值-1。（以上 ）

例4：（课本P38例3）下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么？

（1）y=cosx+1 (2)y= -3sin2x

变式训练4：（课本P39例4）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小。

① ； ②

课堂巩固练习2（课本P40练习NO：1；2；3）

三、课堂小结，巩固反思

1、正弦函数与余弦函数的周期性，最小正周期的求法。

2、正弦函数与余弦函数的奇偶性，会判定三角函数的奇偶性。

3、会求 的单调区间。

4、会求 的最值。

四、课时必记：

1、一般结论：函数 及函数 ， 的周期

2、y=sinx为奇函数，图象关于原点对称；y=cosx是偶函数，图象关于y轴对称。

3、正弦函数y=sinx每一个闭区间［－ ＋2kπ， ＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［ ＋2kπ， ＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.

余弦函数y=cosx在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.

4、正弦函数y=sinx当x= 时取最大值1，当x= 时取最小值-1。

余弦函数y=cosx当x= 时取最大值1，当x= 最取最小值-1。（以上 ）

五、分层作业：

A组：

1、（课本P46习题1.4 A组 NO：2）

2、（课本P46习题1.4 A组 NO：3）

3、（课本P46习题1.4 A组 NO：4）

4、（课本P46习题1.4 A组 NO：5（1））

B组：

1、（课本P46习题1.4 A组 NO：5（2））

2、(tb0135302)函数y=Asin(wx+ )+C中，A、w、 、C为常数，且A>0，w>0，则这个函数的最小值是（C）。

（A）A+C （B）A-C （C）-A+C （D）-A-C

C组：

1、作出下列函数的图象，若是周期函数，请写出它的周期

（1）y=|sinx| (2)y=|cosx|

2、函数y=ksinx+b的最大值为2, 最小值为-4，求k,b的值。