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向心力的实例分析

1．汽车在水平路面转弯

2．汽车、火车在内低外高的路面上的转弯

1．汽车、火车转弯时需要的向心力都是由重力提供的．(×)

2．汽车在水平道路上行驶时，最大车速受地面最大静摩擦力的制约．(√)

3．火车弯道的半径很大，故火车转弯需要的向心力很小．(×)

如图4­3­1所示，下雨天路面比较湿滑，行驶的汽车如果速度过快，转弯时容易发生侧滑，这是为什么？

图4­3­1

【提示】　汽车转弯时需要的向心力是由地面静摩擦力提供的，下雨天路面湿滑，最大静摩擦力减小，故高速转弯时易发生侧滑．

火车在铁轨上转弯可以看成是匀速圆周运动，如图4­3­2所示，请思考：

图4­3­2

探讨1：火车转弯处的铁轨有什么特点？火车运动轨迹所在的平面是倾斜的还是水平的．

【提示】　转弯处铁轨外高内低．水平的．

探讨2：火车转弯时速度过大或过小，会对哪侧轨道有侧压力？其转弯速度v是多大时，火车对轨道无压力？

【提示】　车速过大，对外轨产生挤压．车速过小，对内轨产生挤压．v＝.

1．轨道分析

火车在转弯过程中，运动轨迹是一圆弧，由于火车转弯过程中重心高度不变，故火车轨迹所在的平面是水平面，而不是斜面．火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心．

2．向心力的来源分析(如图4­3­3所示)

图4­3­3

火车速度合适时，火车受重力和支持力作用，火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，合力沿水平方向，大小F＝mgtan θ.

3．规定速度分析

若火车转弯时只受重力和支持力作用，不受轨道压力．则mgtan θ＝m，可得v₀＝.(R为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，v₀为转弯处的规定速度)．

4．轨道压力分析

1．赛车在倾斜的轨道上转弯如图4­3­4所示，弯道的倾角为θ，半径为r，则赛车完全不靠摩擦力转弯的速率是(设转弯半径水平)(　　)

图4­3­4

A.

B.

C.

D.

【解析】　设赛车的质量为m，赛车受力分析如图所示，可见：F_合＝mgtan θ，而F_合＝m，故v＝.

【答案】　C

2．火车在某个弯道按规定运行速度40 m/s转弯时，内、外轨对车轮皆无侧压力，若火车在该弯道实际运行速度为30 m/s，则下列说法中正确的是 (　　)

 【导学号：45732123】

A．仅内轨对车轮有侧压力

B．仅外轨对车轮有侧压力

C．内、外轨对车轮都有侧压力

D．内、外轨对车轮均无侧压力

【解析】　火车在弯道按规定运行速度转弯时，重力和支持力的合力提供向心力，内、外轨对车轮皆无侧压力。若火车的运行速度小于规定运行速度时，重力和支持力的合力大于火车需要的向心力，火车将做近心运动，内轨对车轮产生侧压力，重力、支持力和内轨的侧压力的合力提供火车做圆周运动的向心力，故A正确．

【答案】　A

3．某游乐场里的赛车场为圆形，半径为100 m，一赛车和乘客的总质量为100 kg，车轮与地面间的最大静摩擦力为600 N．(g取10 m/s²)

(1)若赛车的速度达到72 km/h，这辆车在运动过程中会不会发生侧移？

(2)若将场地建成外高内低的圆形，且倾角为30°，并假设车轮和地面之间的最大静摩擦力不变，为保证赛车的行驶安全，赛车最大行驶速度应为多大？

【解析】　(1)赛车在场地上做圆周运动的向心力由静摩擦力提供，如图甲所示．赛车做圆周运动所需的向心力为F＝＝400 N＜600 N，所以赛车在运动过程中不会发生侧移．

甲　　　　　　乙

(2)若将场地建成外高内低的圆形，则赛车做匀速圆周运动的向心力由重力mg、支持力N和静摩擦力的合力来提供，如图乙所示为赛车做圆周运动的后视图(赛车正垂直纸面向里运动)．赛车以最大速度行驶时，地面对赛车的摩擦力为最大静摩擦力．由牛顿第二定律得

水平方向：Nsin θ＋f_maxcos θ＝m

竖直方向：Ncos θ－f_maxsin θ－mg＝0

代入数据解得v_max＝≈35.6 m/s.

【答案】　(1)不会　(2)35.6 m/s

火车转弯问题的解题策略

1．对火车转弯问题一定要搞清合力的方向，指向圆心方向的合外力提供火车做圆周运动的向心力，方向指向水平面内的圆心．

2．弯道两轨在同一水平面上时，向心力由外轨对轮缘的挤压力提供．

1．汽车过拱形桥

2.过山车(在最高点和最低点)

(1)向心力来源：受力如图4­3­5，重力和支持力的合力提供向心力．

图4­3­5

(2)向心力方程

1．过山车在运动时，做的是匀速圆周运动．(×)

2．汽车在凸形桥上行驶时，速度较小时，对桥面的压力大于车重，速度较大时，对桥面的压力小于车重．(×)

3．汽车过凹形桥时，对桥面的压力一定大于车重．(√)

　过山车和乘客在轨道上的运动是圆周运动(如图4­3­6甲、乙所示)．那么

甲　　　　　　　乙

图4­3­6

过山车驶至轨道的顶部，车与乘客都在轨道的下方，为什么不会掉下来？

【提示】　过山车驶至轨道的顶部时，车所受的轨道的压力和所受的重力的合力提供车做圆周运动的向心力，只改变速度方向，而不使物体做自由落体运动．

小球分别在轻绳(如图4­3­7甲)和轻杆(如图4­3­7乙)的一端绕另一端在竖直平面内运动，请思考：

图4­3­7

探讨1：小球要在竖直平面内完成圆周运动，经过最高点时的最小速度能为零吗？

【提示】　轻绳上的小球最小速度不能为零．

轻杆上的小球最小速度可以为零．

探讨2：小球经过最高点时，与绳(或杆)之间的作用力可以为零吗？

【提示】　小球轻过最高点时与绳或杆的作用力可以为零．

1．汽车过桥问题的分析：

(1)汽车过凸形桥．

汽车在桥上运动，经过最高点时，汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供向心力．如图4­3­8甲所示．

图4­3­8

由牛顿第二定律得：G－N＝m，则N＝G－m.

汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对相互作用力，即N′＝N＝G－m，因此，汽车对桥的压力小于重力，而且车速越大，压力越小．

①当0≤v＜时，0＜N≤G.

②当v＝时，N＝0，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险．

③当v＞时，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险．

(2)汽车过凹形桥．

如图4­3­8乙所示，汽车经过凹形桥面最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两个力的合力提供向心力，则N－G＝m，故N＝G＋m.由牛顿第三定律得：汽车对凹形桥面的压力N′＝G＋m，大于汽车的重力，而且车速越大，车对桥面的压力越大．

2．过山车问题分析：如图4­3­9所示，设过山车与坐在上面的人的质量为m，轨道半径为r，过山车经过顶部时的速度为v，以人和车作为一个整体，在顶部时所受向心力是由重力和轨道对车的弹力的合力提供的．由牛顿第二定律得mg＋N＝m.人和车要不从顶部掉下来，必须满足的条件是：N≥0.

当N＝0时，过山车通过圆形轨道顶部的速度为临界速度，此时重力恰好提供过山车做圆周运动的向心力，即mg＝m，临界速度为v_临界＝，过山车能通过最高点的条件是v≥.

图4­3­9

3．轻绳模型：如图4­3­10所示，轻绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，由mg＝m，得v＝.

图4­3­10

在最高点时：

(1)v＝时，拉力或压力为零．

(2)v＞时，物体受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大．

(3)v＜时，物体不能达到最高点．(实际上球未到最高点就脱离了轨道)

即绳类模型中小球在最高点的临界速度为v_临＝.

4．轻杆模型：如图4­3­11所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零，小球的受力情况为：

图4­3­11

(1)v＝0时，小球受向上的支持力N＝mg.

(2)0＜v＜时，小球受向上的支持力且随速度的增大而减小．

(3)v＝时，小球只受重力．

(4)v＞时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大．

即杆类模型中小球在最高点的临界速度为v_临＝0.

4．(多选)如图4­3­12所示，汽车以速度v通过一弧形的拱桥顶端时，关于汽车受力的说法中正确的是(　　)

图4­3­12

A．汽车的向心力就是它所受的重力

B．汽车的向心力是它所受的重力与支持力的合力，方向指向圆心

C．汽车受重力、支持力、牵引力、摩擦力和向心力的作用

D．汽车受到的支持力比重力小

【解析】　汽车以速度v通过一弧形的拱桥顶端时，汽车受重力、支持力、牵引力和摩擦力，重力与支持力的合力提供向心力，方向指向圆心，A、C错误，B正确；汽车受到的支持力比重力小，D正确．

【答案】　BD

5．长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度v₀，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说法中正确的是(　　)

 【导学号：45732124】

A．球过最高点时，速度为零

B．球过最高点时，绳的拉力为mg

C．开始运动时，绳的拉力为m

D．球过最高点时，速度大小为

【解析】　开始运动时，由小球受的重力mg和绳的拉力F的合力提供向心力，即F－mg＝m，F＝m＋mg，可见C不正确；小球刚好过最高点时，绳拉力为0，mg＝m，v＝，A、B不正确．故选D.

【答案】　D

6．游乐场的过山车的运动过程可以抽象为图4­3­13所示模型．弧形轨道的下端与圆轨道相接，使小球从弧形轨道上端A点由静止滑下，进入圆轨道后沿圆轨道运动，最后离开．试分析A点离地面高度h至少要多大，小球才可以顺利通过圆轨道最高点(已知圆轨道的半径为R，不考虑摩擦等阻力)．

图4­3­13

【解析】　小球恰好通过圆轨道的最高点时，轨道对小球的作用力为零．小球从A点到达圆轨道最高点的过程中，由机械能守恒定律得：mgh＝mg·2R＋mv²，在圆轨道最高处：mg＝m，解得h＝R.

【答案】　R

“二明、一分、一用”解竖直平面内圆周运动问题