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用二分法求方程的近似解

                      --周口恒大中学  聂殿功

教学目标：

    知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．

    过程与方法：能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．

    情感、态度、价值观：体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．

教学重点：

重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．

难点：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．

复习

提出问题

①已知函数f(x)=mx²+mx+1没有零点，求实数m的范围.

②证明函数f(x)=x²+6x+10没有零点.

③已知函数f(x)=2mx²－x+m有一个零点，求实数m的范围.

④已知函数f(x)=2(m+1)x²+4mx+2m－1有两个零点，求实数m的范围.

活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.

讨论结果：①因为Δ=m²－4m<0或m=0，∴0≤m<4.

②因为Δ=36－40=－4<0，∴没有零点.

③Δ=1－4m²=0或m=0，∴m=或m=或m=0.

④Δ=16m²－8(m+1)(2m－1)=－8m+8>0且2(m+1)≠0，∴m<1且m≠－1.

导入新课

(直接导入)

教师直接点出课题：这一节我们将进一步巩固有关方程的根与函数的零点的知识，总结求方程的根与函数的零点的方法，探寻其中的规律.

推进新课

新知探究

提出问题

①如果函数相应的方程不易求根，其图象也不易画出，怎样讨论其零点?

②用数学语言总结判断零点存在性定理，并找出好的理解记忆方法.

活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.

讨论结果：①在闭区间［a，b］上，若f(a)f(b)<0，y=f(x)连续，则(a，b)内有零点.

②如果函数y=f(x)在区间［a，b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.我们把它叫做零点存在性定理.

因为闭区间端点符号相反的连续函数在开区间内有零点，可以简记为：“闭端反连(脸)，开内零点.”

应用示例

例1证明函数y=2^|x|－2恰有两个零点.

图3－1－1－19

证明:如图3－1－1－19，∵f(－2)=2，f(0)=－1，f(2)=2，

∴f(－2)f(0)<0，f(0)f(2)<0.

∴函数y=2^|x|－2有两个零点.

要证恰有两个零点，

需证函数y=2^|x|－2在(0，+∞)上为单调的，函数y=2^|x|－2在(－∞，0)上为单调的.

∵在(0，+∞)上，函数y=2^|x|－2可化为y=2^x－1，

下面证明f(x)=2^x－1在(0，+∞)上为增函数.

证明：设x₁，x₂为(0，+∞)上任意两实数，且0<x₁<x₂，

∵f(x₁)－f(x₂)=2－2－(2－2)=2－2=2 (2－x₂－1)，

∵0<x₁<x₂，∴x₁－x₂<0，2－x₂<1.

∴2>0，2－x₂－1<0.

∴2 (2－x₂－1)<0.

∴f(x₁)－f(x₂)<0.

∴f(x₁)<f(x₂).

∴函数y=2^|x|－2在(0，+∞)上为增函数.

同理可证函数y=2^|x|－2在(－∞，0)上为减函数.

∴函数y=2^|x|－2恰有两个零点.

变式训练

证明函数f(x)=x+－3在(0，+∞)上恰有两个零点.

证明:∵f()=，f(1)=－1，f(3)=，

∴f()f(1)<0，f(1)f(3)<0.

∴函数f(x)=x+－3在(0，+∞)上有两个零点.

要证恰有两个零点，

需证函数f(x)=x+－3在(0，1)上为单调的，函数f(x)=x+－3在(1，+∞)上为单调的.

证明：设x₁，x₂为(0，1)上的任意两实数，且x₁<x₂.

∵f(x₁)－f(x₂)=x₁+－3－(x₂+－3)=(x₁－x₂)+()

=(x₁－x₂)+=(x₁－x₂)()，

∵0<x₁<x₂<1，∴x₁－x₂<0，<0.∴(x₁－x₂)()>0.

∴f(x₁)－f(x₂)>0.

∴函数f(x)=x+－3在(0，1)上为减函数.

同理函数f(x)=x+－3在(1，+∞)上为增函数.

∴函数f(x)=x+－3在(0，+∞)上恰有两个零点(如图3－1－1－20).

图3－1－1－20

点评：证明函数零点的个数是一个难点和重点，对于基本初等函数可以借助函数图象和方程来讨论.对于较复杂的函数证明函数恰有n个零点，先找出有n个，再利用单调性证明仅有n个.

例2已知函数f(x)=ax³+bx²+cx+d有三个零点，分别是0、1、2，如图3－1－1－21，

求证:b<0.

图3－1－1－21

活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示:

方法一：把零点代入，用a、c表示b.

方法二：用参数a表示函数.

证法一：因为f(0)=f(1)=f(2)=0，

所以d=0，a+b+c=0，4a+2b+c=0.

所以a=，c=b.

所以f(x)=x(x²－3x+2)=x(x－1)(x－2).

当x<0时，f(x)<0，所以b<0.

证法二：因为f(0)=f(1)=f(2)=0，所以f(x)=ax(x－1)(x－2).

当x>2时，f(x)>0，所以a>0.比较同次项系数，得b=－3a.所以b<0.

变式训练

函数y=ax²－2bx的一个零点为1，求函数y=bx²－ax的零点.

答案:函数y=bx²－ax的零点为0、2.

点评：如果题目给出函数的零点，这涉及到零点的应用问题.

(1)可以考虑把零点代入用待定系数法解决问题.

(2)利用零点的特殊性把解析式的设法简单化.

知能训练

1.函数f(x)=lgx－2x²+3的零点一定位于下列哪个区间?(    )

A.(4，5)          B.(1，2)            C.(2，3)          D.(3，4)

2.若函数f(x)=2mx+4在［－2，1］上存在零点，则实数m的取值范围是(    )

A.［4］                      B.(－∞，－2］∪［1，+∞)

C.［－1，2］                     D.(－2，1)

3.已知函数f(x)=－3x⁵－6x＋1，有如下对应值表：

函数y＝f(x)在哪几个区间内必有零点？为什么？

答案:1.B  2.B  3.(0，1)，因为f(0)·f(1)<0.

点评：结合函数图象性质判断函数零点所在区间是本节重点，应切实掌握.

拓展提升

方程lnx+2x+3=0根的个数及所在的区间，能否进一步缩小根所在范围？

分析：利用函数图象(图3－1－1－22)进行探索分析.

图3－1－1－22

解：(1)观察函数的图象计算f(1)、f(2)，知f(x)=lnx+2x+3有零点.

(2)通过证明函数的单调性，知f(x)=lnx+2x+3有一个零点x∈(1，2).

请同学们自己探究能否进一步缩小根所在范围？借助计算机可以验证同学们判断，激发学生学习兴趣.

课堂小结

(1)学会由函数解析式讨论零点个数，证明零点个数.

(2)思想方法：函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想.

作业

课本P₈₈练习2.

教学反思：略