课题名称：恒成立问题

姓名:

张艳娜

教材版本:

人教版

学科年级:

高二

一、教学内容分析

恒成立问题把导数、不等式、函数、数列、三角、几何等内容有机地结合起来，覆盖知识点广，渗透的数学思想方法多，解题方法又灵活，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，考试容易考到，但是这种题的得分率并不高，其原因就是没有把握问题的实质和解决问题的方法。为了使这一知识点无论以什么样的载体出现，学生都能轻松应对，我设计了一堂《恒成立问题》专题讲座。本课时给出解决这一问题的四种方法。其中三种学生都已经接触过，只有一种方法是本节课的难点。这些内容都以学生的认知特点和所学知识为依据。让学生在活动中理解数学的本质，使学生愿意学、会学、乐学。

二、教学目标

知识目标：解决恒成立问题的方法

能力目标：1、提高学生分类讨论、转化与化归的能力。

2、通过一题多解的探索活动，提高探究能力，数学归纳能力，分析问题、解决问题的能力。

情感、态度与价值观目标：培养学生勤于思考，善于探索的良好思维习惯，提高解决实际问题的能力。

三、学习者特征分析

在前面学习的基础上，学生对恒成立问题中二次函数在R上恒成立，分离参数的方法已经有了一定的认识，这就为这节课的学习打下了良好的基础；对本堂课来说，一题多解要使学生想想有没有其他的解决方法，或者说如果分离参数方法失效了，我们该怎么办？一步一步引导学生去思考，只有让学生融入课堂、积极思索，才能学好知识，感受到知识的魅力。

四、教学过程

教师活动

预设学生活动

设计意图

考点一、不等式在R上恒成立求参数范围

例1、若一元二次不等式2kx²+kx-3/8<0                      对一切实数x都成立,则k的取值范围为(　　)

A.(-3,0]  B.[-3,0) 

C.[-3,0]  D.(-3,0)

学生试着想一想，解决教师提出的问题

创设较简单的问题情境，使学生容易上手。同时使学生总结出一类题目的做法。

答案:D

学生会用学过的方法来解决这个问题

学生可以轻松解决

学生做完这个题目，老师再向学生发问，“同学们请看，这是一道选择题，我们有必要非得像刚才那样做吗？”

学生思考

小题小做

小题巧做

思考:一元二次不等式在R上恒成立条件是什么?

学生总结

归纳出一类题目的一般做法

1、利用一元二次函数的判别式

类型1：设

（1）上恒成立；

（2）上恒成立.

学生做笔记齐声朗读

老师领着齐声朗读识记知识点并且不易走神。

考点2、自变量x在给定区间上恒成立求参数范围

例2、(2018江苏镇江一模,12)已知函数f(x)=x²-kx+4对任意的x∈[1,3],不等式f(x)≥0恒成立,则实数k的最大值为　　. 

答案:4　

思考讨论并回答。

并总结归纳方法

学生首先想到的方法就是分离参数法，这个方法老师之前反复强调过。

思考:解决在给定区间上恒成立问题有哪些方法?

学生思考

分离参数法

2、利用函数的最值（或值域）

类型2：

学生做笔记齐声朗读

利用函数单调性求最值是这一部分的难点

还有其他方法吗？

学生们观察一下这个函数是什么类型的函数？所以还可以怎么考虑？

学生思考

二次函数最值法

类型3：设

（1）当时，上恒成立，

上恒成立

当a<0时，将其转化为a>0

学生思考并做笔记、齐声朗读

一题多解提高学生的思维水平

考点3、给定参数范围的恒成立问题

例3、已知对任意的k∈[-1,1],函数f(x)=x²+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则x的取值范围是　　　　　. 

答案:{x|x<1或x>3}　

学生做题

搞清谁是主元，谁是参数，

思考:如何求解给定参数范围的恒成立问题?

学生思考

3、利用一次函数的性质

类型4：对于一次函数有：

(ⅰ)，或(ⅱ)；

亦可合并定成；

学生做笔记并齐声朗读

一般地知道谁的范围谁就是主元，求谁的范围谁就是参数。

二．回顾知识点

让学生尝试回忆

遵循遗忘规律及时复习，降低遗忘的速度

三.对应训练

(1)已知a为常数,∀x∈R,ax²+ax+1>0,则a的取值范围是(　　)

A.(0,4)            B.[0,4)

C.(0,+∞)            D.(-∞,4)

在R上恒成立问题

及时练习

(2)已知函数f(x)=x²+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是　　　　　. 

在区间上恒成立问题

及时练习

(3)已知不等式xy≤ax²+2y²对x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　　. 

初看这个题目，好像并不是我们今天的内容，但是静下心来认真思考一下可以转化为在区间上恒成立问题

提高学生解决问题的能力，转化与化归能力，化不知为已知的能力。

四．布置作业

对应训练第三题

做在作业本上

讲过的题目做作业检查一下学生掌握情况

五、教学策略选择与设计

教师创设情境启发、引导，学生自主探究、思考、动手、讨论、交流学习成果。

新课程注重学生的主动学习，发挥学生的主体作用，因此，本课在教学的设计上将充分发挥学生的主观能动性，并与实践相结合，通过自己的探索加上教师的引导，使学生的探究一步步走向深入，从中体会到探究的乐趣、知识的魅力、应用的价值，开阔学生的视野，锻炼学生的思维。　

六、板书设计

恒成立问题

考点1、不等式在R上恒成立求参数范围

考点2、自变量x在给定区间上恒成立求参数范围

考点3、给定参数范围的恒成立问题