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1.4.2正弦函数、余弦函数的性质教学设计（3课时）

一、 内容及其解析

    本节是人教A版高中数学必修4第一章，1.4.2正弦函数、余弦函数的性质的教学内容。对于函数性质的研究，学生已有经验，其中，通过观察函数的图像，从图像的特征获得函数的性质是一个基本方法，也是数形结合思想的应用。由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方。三角函数是基本初等函数之一，是中学数学的重要内容之一，是研究度量几何的基础，又是研究自然界周期变化规律最强有力的教学工具。正弦函数、余弦函数的性质在全章中起着承上启下的作用。

二、目标及其解析

目标：1、了解周期函数及最小正周期的概念，会求一些简单三角函数的周期.

      2、掌握正、余弦函数的有关性质并会运用其性质解题。

        解析：1、周期函数定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。周期T中最小的正数叫做f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

2、正、余弦函数的有关性质

      （1）函数y=cosx是偶函数；函数y=sinx是奇函数

（2）正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1；余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.y=sinx的对称轴为x= （k∈Z）；y=cosx的对称轴为x= （k∈Z）

三、问题诊断与分析

本节课学生可能对正弦函数、余弦函数的性质难以理解和利用性质解题时不会灵活应用。为此要求学生自己动手，找出正弦函数、余弦函数的性质，加强对公式的理解和记忆。

四、教学支持条件

    本节课在展示函数图象时支持多媒体教学，这样做可以节省时间。

五、教学过程

第一部分   自学

问题一：在已学过的内容中，我们要研究一个函数的性质，往往从哪些方面入手？

设计意图：回顾函数性质包括的内容，明确本节课将围绕这些内容展开。

师生活动

1、观察下列图表及对应的y=sinx的函数图像                 

从中发现什么规律？是否具有周期性？

2、如何给周期函数下定义？

对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

3、判断下列问题：

（1）对于函数，有，能否说是它的周期？

（2）正弦函数，是不是周期函数，如果是，周期是多少？（，且）

（3）若函数的周期为，则，也是的周期吗？为什么？ 

（是，其原因为：）

说明：1、周期函数xÎ定义域M，则必有x+TÎM, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；

 2、 “每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x₀+t)¹f (x₀)）

 3、T往往是多值的（如y=sinx   2p,4p,…,-2p,-4p,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

y=sinx, y=cosx的最小正周期为2p  （一般称为周期）

从图象上可以看出，；，的最小正周期为；

判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？  （没有最小正周期）

例1 求下列三角函数的周期： ①   ②（3），．

解：（1）∵，

∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，

 所以，函数，的周期是．

（2）∵，

∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，

所以，函数，的周期是．

（3）∵，

∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，

所以，函数，的周期是．

设计意图：进一步熟练公式

变式训练：求下列三角函数的周期：

1、y=sin(x+)   2、 y=cos2x   3、y=3sin(+)

解：1、 令z= x+ 而 sin(2p+z)=sinz   即：f (2p+z)=f (z)

f [(x+2)p+ ]=f (x+)    ∴周期T=2p

2、令z=2x  ∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2p)=cos(2x+2p)=cos[2(x+p)]

即：f (x+p)=f (x)    ∴T=p

      3、令z=+ 则：f (x)=3sinz=3sin(z+2p)=3sin(++2p)

=3sin()=f (x+4p)         ∴T=4p 

                   第二部分  互学、导学

问题二：回顾函数的奇偶性和单调性，分别说说函数y=sinx与y=cosx (x∈R)有怎样的奇偶性和单调性？

设计意图：回顾旧知，明确研究方向

师生活动 

1、奇偶行：分别在直角坐标系观察y=sinx,y=cosx (x∈R)的图象，它们的图象有怎样的对称性？你能得到什么性质？

(1)余弦函数的图形[来源:学§科§网Z§X§X§K]

当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。

例如：f(-)=,f()= ,即f(-)=f()；……  由于cos(－x)=cosx    ∴f(-x)= f(x).

以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=cosx的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上，这时，我们说函数y=cosx是偶函数。

 (2)正弦函数的图形[来源:Z&xx&k.Com]

观察函数y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？

这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。

也就是说，如果点（x,y）是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数y=sinx的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇函数。

2.单调性

从y＝sinx，x∈［－］的图象上可看出：

当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1.

当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1.

结合上述周期性可知：

正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.

余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；

在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.

3.有关对称轴

观察正、余弦函数的图形，可知y=sinx的对称轴为x=    k∈Z           y=cosx的对称轴为x=    k∈Z

例2 判断下列函数的奇偶性

 (1)     

（2）函数f(x)＝sinx图象的对称轴是     ；对称中心是       .

设计意图：让学生掌握正、余弦函数的有关性质并会运用其性质解题。

变式训练：求函数 的单调递增区间

六、课堂小结：

对周期函数概念的理解注意以下几个方面：

1、（1）是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值，仍在定义域内且使等式成立.

（2）周期是常数，且使函数值重复出现的自变量的增加值.

（3）周期函数并不仅仅局限于三角函数，一般的周期是指它的最小正周期.

2、（1）正、余弦函数的定义域、值域、有界性、单调性、奇偶性、周期性等都可以在图象上被充分地反映出来，所以正、余弦函数的图象十分重要.

  （2）结合图象解题是数学中常用的方法.

                        第三部分   检学

七、目标检测

1、求下列函数的周期：

（1）正弦函数的周期是___________________________.

　（2）正弦函数的周期是_________________________.

　（3）余弦函数的周期是__________________________.

　（4）余弦函数         　　　 的周期是______________________.　

   2.函数的周期与解析式中的______________无关，其周期为: __________________.

 3、函数的奇偶性为（     ）

A、奇函数                       B、偶函数

C、既是奇函数又是偶函数         D、既不是奇函数又不是偶函数

4、下列命题中正确的个数是（        ）个

（1）的递增区间是；（2）在第一象限是增函数；（3）在上是增函数。

A、1      B、2      C、3      D、0