发布者：谢冬莲 发布时间：2019-06-10 浏览数( -) 【举报】
直线的方程（一）
（一）教学分析
1．学生起点分析：
（1）学生已经具备的知识：点的坐标，直线的y截距，直线的倾斜角，直线的斜率，两点确定一条直线，
（2）学生活动的经验基础：
学生在初中甚至是在小学就基本掌握了过两点作一条直线，如何过直线外一点作一条直线的的平行线，其中最重要的体验就是要确定过该点的直线的倾斜方向，意识到确定直线需要的2个要素。
2．教学任务分析：
（1）通过本节的学习，学生要明确确定直线的因素——经过的一个点和直线的方向。
（2）有了直线的点斜式方程，就可逐一探求出直线方程的其他形式。探求过程本身并没有多少难度，但过程中体现出的思想方法却很有必要挖掘。从点斜式到斜截式，是从一般到特殊的思维过程，用到了演绎思想；从点斜式到两点式，是从一般到一般的逻辑推理，依靠直线的斜率来过渡，体现了转化思想；从两点式到截距式，又是从一般到特殊的思维过程，再一次用到演绎思想。
（3）两点确定一条直线，这是学生很早就接触的几何公理，然而在解析几何，平面向量等理论中，直线或向量的方向是极其重要的要素，解析几何中刻画直线方向的量化形式就是斜率．因而在教学中要突出点斜式方程。
（二）教学过程
1．问题提出：
方案一：我们知道，点的代数表示形式是坐标，那么点动成线，直线的代数表示形式会有吗？如果有，应该是什么？我们来探究。
方案二：一次函数的一般形式为 y = kx + b，其图像为一条直线。当一次项系数k > 0时，函数单调递增，图像呈上升趋势，是一条逐渐上升的直线；当一次项系数k < 0时，函数单调递减，图像呈下降趋势，是一条逐渐下降的直线；当一次项系数k = 0时，函数为常数函数，图像是一条与y轴垂直的直线。
问题提出：
① 从集合的角度看，直线可以看成什么？
② 在平面直角坐标系中，点的代数形式是什么？
③ 一次函数的图像是怎么描绘出来的？
④ 一次函数的解析式可以看成什么？
⑤ 在平面直角坐标系中，直线的代数形式是什么？
⑥ 从直线的代数形式上看，确定直线的因素是什么？
⑦ 这些因素的几何意义你知道吗？是什么？
⑧ 在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何因素是什么？
⑨ 从对上面问题的解答中，你能抽象出与直线有着直接关系的数学概念吗？分别有哪些？你能对它们进行叙述或定义吗？
⑩ 在平面直角坐标系中，所有直线都可以写成一次函数的解析式吗？
问题解答：① 可以看成点的集合。
② 有序实数对，用（x，y）表示。
③ 用列表描点法，即从解析式中取出一组组有序实数对，变成一个个点，再描绘到平面直角坐标系中。
④ 可以看成一个二元一次方程。
⑤ 一次函数的解析式，即一个二元一次方程。
⑥ 是一次项系数k和常数项b。
⑦ 因素k的几何意义是决定直线上升或下降的幅度，即直线的倾斜角或斜率，因素b的几何意义是直线与y轴交点的纵坐标。
⑧ 是直线上升或下降的幅度和直线上的一个点。
⑨ 可以，它们应该是直线上的一个点和直线的倾斜角或斜率。这些概念在上一节课上已经讲过。
⑩ 不是，垂直于x轴的直线就不行。
通过对若干问题的提出和解答，再给出一些具体的直线让学生去体会，学生一定能够较好的认识直线的方程。
方案三：西安市计划近几年里要建造两条地铁线，一条是东西走向，称为地铁一号线，一条是南北走向，称为地铁二号线。地铁二号线正在建造当中，线路呈直线状，经过钟楼和南门，请问，这条线路经过小寨十字吗？请从数学的角度考虑，是怎样测算出来的？
答：建立平面直角坐标系，如果能找到线路上所有点的代数表示形式，即直线的代数表示形式，然后把小寨十字对应点的坐标代入这个“代数表示形式”中去检验就行了，如果适合，就说明地铁线路经过小寨十字；如果不适合，说明地铁线路不经过小寨十字。
那么，这个“代数表示形式”是什么呢？这就是我们今天要学习的内容。
2．直线方程的点斜式：
在平面直角坐标系中，直线l经过点 ，斜率为k，点是直线l不同于点的任一点，
分析：由于P，Q都在直线l上，从而用P，Q的坐标来表示直线l的斜率，则由斜率公式可得：
整理得：
即直线l的点斜式方程：
由直线的几何特征，这个方程是由直线上的一点和斜率（一个方向）所确定的，称为直线方程的点斜式.
在推导直线方程的点斜式时，教师可帮助启发学生作如下分析：
建立点斜式的主要依据是，经过直线上一个定点与这条直线上任意一点的直线是惟一的，其斜率都等于k。
提问：
（1）上述变形过程中是否是恒等变形，也就是说该方程是否表是了这条直线上的所有点，而直线上所有点也是否在该直线上，如果不是的话，丢失或添加了那些元素？
（2）直线方程的点斜式可以把所有直线都表示出来？有遗漏的吗？（在“斜”上加重语气，唤醒思考，不满足于一时的成功）
解答：（1）由题意易得，满足方程的点都在直线上，而得出方程后，要把它变成方程.因为前后并不是等价变形，而前者表示的直线上缺少一个点，变形后得到的后者恰好将是成为整条直线的方程。
（2）如果一条直线的斜率不存在，是不可能用点斜式表示出来的。但这个问题反而更容易求解，反倒应特别注意的是不要遗漏此种情况。
当直线的斜率k不存在时，无法用点斜式求它的方程，这时的直线方程为.
值得注意的是，当直线斜率时，虽然也能用点斜式，但由于斜率的特殊性，该直线方程可直接写为；
评注：点斜式方程推导对学生来说是容易接受的，因此，本环节通过问题的讨论，力求使学生对直线方程的点斜式有一个全方位的认识，以建立起完整、准确的知识结构。同时，通过讨论，学生可以切实掌握点斜式并不能把平面上所有的直线都表示在内，它受到斜率存在性的影响，因此，在具体运用时应根据情况分类讨论，避免遗漏.
3.直线的方程
一般地，如果一条直线l上任一点的坐标（x , y）都满足一个方程，满足该方程的每一个数对（x , y）所确定的点都在直线l ，则称这个方程为直线l的方程。
（1）直线方程的斜截式：
提问：如果直线经过点P（0,b），并且它的斜率为，如何求直线的方程.
将点P（0,b）和斜率代入点斜式方程，
y- b = k ( x – 0 )
可化为：
根据已知直线的几何特征，称为y = kx + b为直线方程的斜截式，称b为直线l在y上的截距。
评注：该问题学生很容易解决，但要注意给学生点出从一般到特殊的思维方式，即演绎推理的思维方式，同时点出，这也是对直线斜截式方程的抽象概括。
再问：点斜式方程要点在于一点和一个斜率，如果将斜率这个条件换成另一个点，此时条件转化为已知两点，此时能否求该直线的方程呢？有什么限制条件吗？
解答：此时的两点恰好确定斜率，正回应了学生早已经明确的两点确定一条直线的公理，
（2）直线方程的两点式：
已知直线l上两点，B（ ，试求直线l方程.
首先利用直线的斜率公式求出斜率，然后利用点斜式写出直线方程为：
可以导出，
注意：
（1）上述两个方程表示的直线的范围是不同的.后者表示范围缩小了.但后者这个方程的形式比较对称和美观，体现了数学美，同时也便于记忆及应用.所以采用后者作为公式，由于这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线方程的两点式
所以，当，时，经过，B（的直线z
两点式方程为：
（2）强调倾斜角是0 o或90 o的直线不能用两点式公式表示
（3）若要包含倾斜角为0 o或90 o的直线，应把两点式变成
的形式
（4）直线方程的两点式是运用点斜式方程，通过斜率计算推导出来的，而直线的点斜式方程是通过抽象概括得到的，所以，直线的两点式方程也可以说是通过抽象概括得到的。
（3）直线方程的截距式
上述的直线方程的两点式虽然具有对称美，但还略显臃肿，你能在直线上无数的点中选取适当的两点，使得上式较为简洁易用？
求经过两点A (,0) B (0, )的直线方程（ab ≠ 0）
解：由两点式易得，
整理得：
直线与轴交于一点（,0）定义为直线在轴上的截距；
直线与y轴交于一点（0,）定义为直线在轴上的截距.
以上直线方程是由直线在轴和轴上的截距确定的，所以叫做直线方程的截距式.由截距式画直线比较方便，因为可以直接确定直线与轴和轴的交点的坐标
注意：
（1）,表示截距，是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离，即,是实数而不是非负数。
（2）截距式的使用范围局限于x,y截距都存在且不为零时。注意分类讨论，防止遗漏
（3）直线方程的截距式是直线方程的两点式的特殊情况，是从一般到特殊的思维过程，在使用范围上培养学生思维的严谨性和灵活性。
4．思考与交流：
直线方程的四种形式中，哪个是最根本的，哪一个最活跃？它们的限制条件各是什么？它们之间的相互关系你能搞清楚吗?它们各自的使用功能你能预测吗？
从教材中推导四种形式的方程的前后次序，认知规律上，还是从知识的系统结构上，你体会到了什么？
注：此思考题旨在提升学生的思维水平和认识直线方程的高度。
5．课堂小结：
（1）本节课由确定直线的两个基本要素点和方向开始，引出了直线方程的点斜式，并由此采用一般到特殊的思维方式，得到斜截式，通过对点斜的转化和抽象概括的出两点式，再次采用一般到特殊的演绎推理的思维方式，得到截距式。培养和提高学生的数学思维能力。
（2）注意四种形式的方程使用的局限性，对斜率的存在与否，截距的存在与否以及是否为零要进行充分的讨论。
（3）从中领悟“点、斜”是直线的根，所以直线的点斜式方程显然是重点。要突出这个重点，就要不断地从“点、斜”中去体现直线，如点斜式方程的推导，用点斜式方程来推导其他形式 的方程，用点斜式方程来解决一些几何问题等，以形成“点、斜”思想。在学生的脑海中对点斜式方程产生较深刻的印象，才能凸现出它的重要。
6．作业布置：教科书中的练习题，或学业评价中的练习题。
7．教学反思：
本课通过探究两直线的平行和垂直位置，力求培养学生运用已有知识解决新问题的能力，以及数形结合的能力。培养学生合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣。
教学中启发学生从不同角度理解两条直线的平行和垂直位置，最终转化为研究两直线的斜率关系上来，培养了学生运用转化思想解题的意识和能力。根据直线斜率存在与否的两种情况，引导学生运用分类讨论的思想方法解决问题，学生的能力得到充分的培养和锻炼。