发布者:曾衡 所属单位:安福中小学 发布时间:2019-04-26 浏览数( -) 【举报】
《实际问题与反比例函数》教案
课标要求
能用反比例函数解决简单实际问题.
教学目标
知识与技能:1.能灵活列出表达式解决一些实际问题;2.能综合利用几何、方程、反比例函数的知识解决实际问题.
过程与方法:1.经历分析实际问题中变量之间的关系,建立反比例函数模型,进而解决问题;2.体会数学与现实生活的紧密联系,增强应用意识,提高运用代数方法解决问题的能力;3.初步形成自己构建数学模型的能力.
情感、态度与价值观:1.积极参与交流,并积极发表自己的见解,相互促进;2.体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段,认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具,体验数学的实用性.
教学重点
综合运用反比例函数的解析式、图象和性质解决实际问题.
教学难点
综合运用反比例函数的知识解决较复杂的实际问题.
教学流程
一、情境引入
问题:反比例函数的图象是什么样的?它有什么性质?
引出课题:前面我们结合实际问题讨论了反比例函数,看到了反比例函数在分析和解决实际问题中的作用.今天,我们进一步探讨如何利用反比例函数解决实际问题.
二、探究归纳
例1:市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室.
(1)储存室的底面积S(单位:m2)与其深度 d(单位:m)有怎样的函数关系?
(2)公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2,施工队施工时应该向地下掘进多深?
(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下 15 m时,公司临时改变计划,把储存室的深度改为15 m.相应地,储存室的底面积应改为多少(结果保留小数点后两位)?
解:(1)根据圆柱的体积公式,得Sd =104,
所以S关于d的函数解析式为.
(2)把S=500代入,得
解得:d=20(m)
答:如果把储存室的底面积定为500 m2,施工时应向地下掘进 20 m深.
(3)把d=15代入,得
解得:S≈666.67(m2)
答:当储存室的深度为15 m时,底面积约为666.67 m2.
例2:码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物,装载完毕恰好用了8天时间.
(1)轮船到达目的地后开始卸货,平均卸货速度v(单位:吨/天)与卸货天数t之间有怎样的函数关系?
(2)由于遇到紧急情况,要求船上的货物不超过5天卸载完毕,那么平均每天至少要卸载多少吨?
解:设轮船上的货物总量为k吨,根据已知条件得
k=30×8=240,
所以v关于t的函数解析式为
.
(2)把t=5代入,得
(吨).
∴如果全部货物恰好用5天卸载完,那么平均每天卸载48吨.
∵对于函数,当t>0时,t越小,v越大.
∴若货物不超过5天卸载完,则平均每天至少要卸载48吨.
问题1:公元前 3 世纪,有一位科学家说了这样一句名言:“给我一个支点,我可以撬动地球!”你们知道这位科学家是谁吗?这里蕴含什么样的原理呢?
杠杆原理:阻力×阻力臂=动力×动力臂
例3:小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别为1200 N 和 0.5 m.
(1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系?当动力臂为1.5 m时,撬动石头至少需要多大的力?
(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半,则动力臂l至少要加长多少?
解:(1)根据“杠杆原理”,得
Fl=1200×0.5,
所以F关于l的函数解析式为
.
当l=1.5 m时,
(N).
对于函数,当l=1.5 m 时,F=400N,此时杠杆平衡.
因此,撬动石头至少需要400N的力.
(2)当时,
由得
(m),
3-1.5=1.5(m).
对于函数,当l>0时,l越大,F越小.
因此,若想用力不超过400N的一半,则动力臂至少要加长1.5m.
追问:在我们使用撬棍时,为什么动力臂越长越省力?
问题2:电学知识告诉我们,用电器的功率P(单位:W)、两端的电压U(单位:V)以及用电器的电阻R(单位:Ω)有如下关系:PR=U2.这个关系也可写为 P=,或 R=.
例4:一个用电器的电阻是可调节的,其范围为 110~220 Ω.已知电压为220 V,这个用电器的电路图如图所示.
(1)功率P与电阻R有怎样的函数关系?
(2)这个用电器功率的范围多少?
解:(1)根据电学知识,当U=220时,得
.
(2)根据反比例函数的性质可知,电阻越大,功率越小.
把电阻R最小值=110代入,得
P最大值=(W);
把电阻R最大值=220代入,得
P最小值=(W);
因此用电器功率的范围为220~440W.
追问:想一想为什么收音机的音量、某些台灯的亮度以及电风扇的转速可以调节.
三、应用提高
1.如图,某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1L(1L=1dm3)的圆锥形漏斗.
(1)漏斗口的面积S(单位:dm2)与漏斗的深度d有怎样的函数关系?
(2)如果漏斗口的面积为100cm2,则漏斗的深为多少?
答案:(1)(2)30 cm
2.一司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以80 km/h的平均速度用6 h到达目的地.
(1)当他按原路匀速返回时,汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系?
(2)如果该司机必须在4h之内回到甲地,那么返程时的平均速度不能小于多少?
答案:(1)(2)120 km/h
3.新建成的住宅楼主体工程已经竣工,只剩下楼体外表面需要贴瓷砖,已知楼体外表面的面积为5×103m2.
(1)所需的瓷砖块数n与每块瓷砖的面积S(单位:m2)有怎样的函数关系?
(2)为了使住宅楼的外观更漂亮,建筑师决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖,每块瓷砖的面积都是80cm2,且灰、白、蓝瓷砖使用数量的比为2∶2∶1,需要三种瓷砖各多少块?
答案:(1)(2)250000块,250000块,125000块
四、体验收获
说一说你的收获.
1.我们如何建立反比例函数模型,并解决实际问题?
2.在这个过程中要注意什么问题?
五、拓展提升
1.某校科技小组进行野外考察,途中遇到一片十几米宽的湿地.为了安全、迅速通过这片湿地,他们沿着路线铺了若干块木板,构筑成一条临时通道.你能解释他们这样做的道理吗?当人和木板对湿地的压力一定时,随着木板面积 S(m2)的变化,人和木板对地面的压强 p(Pa)将如何变化?如果人和木板对湿地地面的压力合计600 N,那么
(1)木板面积 S 与人和木板对地面的压强 p 有怎样的函数关系?
(2)当木板面积为 0.2 m2时,压强是多少?
(3)要求压强不超过6000 Pa,木板面积至少要多大?
答案:(1)(2)3000 Pa(3)至少0.1m2
2.已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示.
(1)请写出这个反比例函数的解析式.
(2)蓄电池的电压是多少?
(3)完成下表:
R/Ω | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
I/A |
(4)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A,那么用电器可变电阻应控制在什么范围?
答案:(1)(2)36V(3)12,9,7.2,6,5.14,4.5,4,3.6(4)R≥3.6
六、课内检测
1.已知甲、乙两地相距s(单位:km),汽车从甲地匀速行驶到乙地,则汽车行驶的时间t(单位:h)关于行驶速度v(单位:km/h)的函数图象是( )
答案:C
2.在某一电路中,电源电压U保持不变,电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图所示.
(1)写出I与R之间的函数解析式;
(2)结合图象回答当电路中的电流不超过12 A 时,电路中电阻R的取值范围是多少Ω?
答案:(1)(2)电阻R大于或等于3 Ω
3.密闭容器内有一定质量的二氧化碳,当容器的体积V(单位:m3)变化时,气体的密度ρ(单位:kg/m3)也会随之变化.已知密度ρ与体积V是反比例函数关系,它的图象如图所示.
(1)求密度ρ关于体积V的函数解析式;
(2)求V=9 m3时,二氧化碳的密度ρ.
答案:(1)(2)1.1 kg/m3
七、布置作业
必做题:教材16页习题26.2第2、3、4、7题.
选做题:教材17页习题26.2第9题.