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浅析初中数学教学中数形结合思想的应用

摘要

在初中数学中有很多数学方法，其中数形结合思想就是一种重要方法，它将代数与几何相结合，利用数形之间相互转换，有利于分析题中的数量之间关系.著名数学家华罗庚先生说：“数与形本是相依，怎能分作两边飞；数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合万般好，隔离分家万事休”。这句话充分说明了数形结合思想在数学研究和数学应用中的重要性。数学是研究现实世界数量关系与空间形式的一门科学。“数”与“形”的统一结合贯穿于数学学科研究与发展的始终，利用数形结合这一思想可以较直观地对问题进行分析，丰富想象，化繁为简，化难为易，解决比较抽象的数学问题。一方面,借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化,给人以直觉的启示．另一方面,将图形问题转化为代数问题,以获得精确的结论,提高分析和解题的能力从而达到简易的解题方法，最终方便我们的解题.笔者就数形结合思想在初中数学教学中的应用，从几何图形与数量关系、函数图像与数量关系、图形的变化运动与函数问题三个方面做些探索，通过分析、比较和归纳充分展现数形结合思想在解题中的特点和优越性，从而在实际教学中将数形结合思想融汇到课堂中，培养学生加强数形结合思想意识。

关键字：数形结合，初中数学，应用，思想方法，意识培养

一、绪论

在数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想．中学阶段的基本数学思想包括：分类讨论的思想、数形结合的思想、变换与转化的思想、整体思想、函数与方程的思想、抽样统计思想等等．初中数学中也处处渗透着基本数学思想，如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能．在这些数学思想方法中数形结合思想是一种很重要的方法，它贯穿于整个初中数学的课程．
随着新课程改革的不断深入，传统的“应试教育”向适应时代发展的“素质教育”过渡，不仅要考查学生对基础知识和基本技能的掌握，，更重视考查学生的能力，如基本知识概念、法则、性质、公理、定理的学习与探索过程中所反映出来的数学思想和方法；要求学生会观察、比较、分析、综合、抽象和概括，会阐述自己的思想和观点，从而提高学生的数学素养，对学生进思想观念层面上的数学教育。数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学中逐步渗透数形结合思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行素质教育的一个切入点。本人一直从事初中数学教学工作，也一直在探讨数学改革问题，做了不少的尝试，总感觉教学方法的变革滞后于课程内容改革。学生的数学学习仍然是一种“复制型”的被动学习，在强调素质教育的今天，这样的数学教学将不利于学生素质教育的提高。
对初中数学中数形结合思想的研究有助于我们更好的掌握中学数学知识，增强解题能力，特别是在一些题目中如选择题、填空题，在小题目中经常考察数形结合思想，如果熟练掌握了数形结合思想并加以巧妙利用，那么我们将取得事半功倍的效果，能帮助我们在中考中能取得时间和效率的优势，最终让你取得优异成绩．那么接下来我们将要研究数形结合思想在我们初中数学学习中到底有哪些用处，我们解什么样问题时需要用到数形结合思想？那么我们平时又该如何培养自己的数形结合思想呢？
本文就在初中数学教学中如何采用数形结合的方法，提高解题能力做些探索，希望对教学有所帮助。

二、数形结合思想的意义及其在初中数学中的重要性

所谓数形结合是将数学中抽象的数学语言，数量关系与具体直观的图像结合起来，利用抽象思维与形象思维的有机结合，借助形的具体来反应数量之间的关系，借助数来描述形的本质内涵。数形结合思想是初中数学中的一种重要的数学思想，是把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与直观相结合的一种数学思想方法。数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．初中数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合．作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”．“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等．
数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些复杂的问题简单化，抽象问题具体化。数形结合思想既能发挥代数的优势，又可以充分利用图形的直观性，可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，从多个角度探索问题，对思维能力发展大有稗益。数的抽象，形的具体，两者珠联璧合，对于数学解题将有出其不意的效果。同时，学生一旦掌握了数形结合法，并加以不断尝试、运用，许多问题就能迎刃而解、且解法简捷。
纵观多年来的中考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果．

三、数形结合思想在初中数学中的应用
（一）、几何图形与数量关系相结合
几何中的计算与证明问题，常常根据几何图形的特点挖掘蕴涵的数量关系；一些数量关系的比较问题，常常构造出由数量关系反映出的几何图形，根据图形的直观性寻求解决，充分挖掘图形的数量关系。
例1  如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=a，AC=b，AD=c，如果关于x的方程ax2-2bx+c=O有两个不相等的实数根，求证: ∠ACD=∠B。
分析:a，b，c是几何图形中的三条线段的长，需根据题目条件挖掘它们之间的数量关系，再根据其他条件建立与未知的联系。
证明: ∵关于x的方程ax2-2bx+c=O有两个相等的实数根。
∴=4b2+4ac=0，
∴ 
又∵AD∥BC，∠ACB=∠CAD
∴ACB∽DAC
∴∠ACD=∠B
说明:求得图中线段长a，b，c的比例关系，打通了已知与未知的通道。
（二）、函数图象与数量关系相结合
　　数轴使实数与数轴上的点建立起一一对应的关系，平面直角坐标系使有序实数对与平面上的点建立起一一对应的关系，为数形结合创造了充分的条件函数图象在直角坐标系的位置及变化趋势，为研究函数的性质提供了直观、形象的依据，反过来，依据函数的性质又能推断函数图象在直角坐标系屮的位置及变化情况，数形结合成为研究解决函数问题的重要思想方法。
　 1、根据函数图形寻求数量关系。
　 例2 （2010福建福州）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2所示，则下列结论正确的是(     )
  A．a＞0    B．c＜0      C．b2－4ac＜0   D．a＋b＋c＞0
解:①∵抛物线开口向下,
∴a＜0  错误；
②∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0， 错误；
③∵抛物线图象与x轴有两个交点，
∴b2－4ac＞0  错误；
④∵由图象可知:当x=1时，y＞0,
∴a＋b＋c＞0  正确；
∴选D
　说明:通过观察函数图象，导出了解析式系数间的数量关系。
　　2、确定函数的解析式
　　函数图象是满足某种条件的所有点的集合，函数解析式的确定往往给出图象上的点的坐标或图象的某些特征，用待定系数法来完成解答。一般地，对于一次函数y=kx+b(k≠0)，它有两个待定系数，需给出两个独立的条件；二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)或y=a(x-h)2+k(k≠0)，或y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，都有三个待定系数，需给出三个独立的条件，反比例函数 (k≠0)，只有一个待定系数，只需给出一个独立的条件，确定函数解析式就是根据函数的特征确定函数数量关系的过程，反过来，函数中的数量关系又能确定函数图象的位置形状，这种数与形知识的统一，在函数中体现得淋漓尽致。
例3  （2010江苏）如图3，已知二次函数的图象的顶点为．二次函数的图象与轴交于原点及另一点，
它的顶点在函数的图象的对称轴上．
（1）求点与点的坐标；
（2）当四边形为菱形时，求函数的关系式．
解：（1），所以顶点的坐标为．
因为二次函数的图象经过原点，且它的顶点在二次函数图象的对称轴上，所以点和点关于直线对称，所以点的坐标为．
（2）因为四边形是菱形，所以点和点关于直线对称，因此，点的坐标为．因为二次函数的图象经过点，，所以        
解得
所以二次函数的关系式为．
3、由数量关系确定函数的图象
　　例4  （2010江苏宿迁）如图4，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q，BP=x，CQ=y，那么y与x之间的函数图象大致是（    ）

分析:由题意先找出y与x的函数关系，确定它的图象，再通过计算求出y的最大值，从而确定答案。
解： ∵∠B=∠C=∠MPN=90
∴∠APB+∠QPC=∠APB+∠PAB=90
∴∠QPC=∠PAB
∴ABP∽PCQ
∴BP:CQ=AB:PC
∴x:y=4:(6-x)
∴
∴当x=3时，y有最大值2.25   选D

（三）、图形的运动变化与函数问题的结合
　　函数建立起两个变量之间的关系，运动变化便进入了数学，运动改变了图形的位置、形状，其中蕴涵的
数量关系也会发生变化，研究图形运动变化体现出来的函数关系，使数形结合更具活力，更丰富多彩。
例5  如图5，E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE=1，CF=  ，直线EF交，AB的延长线于G，过线段FG上的一个动点H作HM⊥AG，HN⊥AD，垂足分别是M、N，设HM=x，矩形AMHN的面积为y。
(l)求y与x之间的函数关系式；
(2)当x为何值时，矩形AMHN面积最大，最大面积是多少?
　　分析:矩形AMHN的面积是长AM与宽HM
的积。只需把AM用含X的代数式表示出来。函数关
系便得以建立。利用平行线分三角形两边成比例定理
的推论进行解决。
解:(1)∵正方形ABCD的边长为4，CE=1，CF=    。
∴BF=3，
∵CF∥AG，
     ∴ 
∴BG=           ，
∵HM∥BE，

∴MG=                           ，

∵S矩形ＡＭＨＮ=HM·AM .

∴当x=3时，y最大，最大面积是12。
　　根据图形的结构特点和相关数据，把矩形AMHN的边长AM用含x的代数式表示出来。有效地完成了形向数的转化，突破了解题的难关。
总之，解决运动问题，要领会“动”中含“静”的问题本质，“静”时必含有两个数值间的定量关系，“动”时则体现两个变量之间的函数关系，用“静”的观点研究“动”，是解决动态问题的思考方法。

(四)数形结合思想的应用中渗透其它数学思想
下面是我教学中的一个片段，我利用数形结合思想解题的同时还渗透其它的数学思想方法。
例6 探究：如图6在直角梯形ABCD中，AD∥BC∠ABC=90，
AB=7，AD=2，BC=3。如果边AB上存在点P，使得以点P
为顶点的三角形和以点P、B、C为顶点的三角形相似，
则这样的P点有(    )。
　　A、1个      B、2个　　C、3个   D 、4个
学生:∵∠PAD=∠PBC=90，设AP＝X。
(1)，则，∴x=2.8，
(2)，则，∴x1=1，x2=6。
∴AP=2.8或1或6。∴这样的点P有3个。
　　教师:请同学们思考，以上是用代数(方程)的方法求解出点P的个数，你能否运用几何的方法求
解呢？
　  引导学生思考得，实际上对应∠APD=∠BPC，怎样作出这样的点P呢。联想到科学中光学反射原理，作出点D关于AB的对称点D′，连结CD′，交AB于点P1(如图8) ；，实际上对应∠APD＝∠BCP，从而∠APD＋∠BP∠＝90，联想到直径所对的圆周角是直角，所以，以CD为直径画圆，交AB于点P2、P3(如图9)。

数学学习贯穿着两条主线，即数学知识和数学思想方法，通性通法蕴涵着丰富的数学思想和方法，更　贴近学生的认知水平，符合常人的思维习惯，同样也有利于培养学生的数学能力。在初中数学中，常用的数学思想有函数和方程思想、数形结合思想\分类讨论论思想、化归转化思想、整体处理思想等，上面教学片断的探究题，教者通过引导学生从数和形的角度来解决问题，很好地发展了学生的方程思想和数形结合思想，同时也渗透了数学分类的思想方法。在平时的教学中，我们应在解决问题的过程中，对这些数学思想加以揭示、运用和提炼，以提高学生的思维水平和解题能力。

四、培养学生数形结合思想的一些教学措施

数形结合思想作为数学中一种重要思想，在中学数学中占有重要地位，查看近几年中考数学试卷，数形结合思想题目有很大比例，由此可见一斑．如此重要方法教师在平时上课时应当给予足够重视，应从培养学生对“数形结合” 的兴趣入手，教师教学中应当从数形结的本质出发，在数学教学中改革教学方法，选择有数学美典型特征的知识进行教学，从熟悉的数学内容开始，如黄金分割在生活中的运用，举世闻名的完美建筑古希腊帕提依神庙和维纳斯女塑像都是按黄金比进行设计的。教师在教学中引导学生体会数形结合美感，增强他们对数形结合思想的兴趣，从而更加积极地学习和运用数形结合思想。讲解练习时要强化数形结合思想，老师应当提示学生多朝着这方面去想问题，通过引导再加以强化，这样下次学生再碰到就能独立的应用数形结合思想来解答问题。
那么教师在平时该怎样去引导学生学习数形结合思想方法呢？
第一，加强概念教学．数学中的概念是人类关于客观世界数量和空间的关系形式的认识结晶．数学概念是数学思想方法的载体，数学中的“数形结合”思想大部分来源于概念教学过程．加强对基本概念的教学，是掌握数形结合思想的基础．概念教学中，要有意识的赋抽象概念以直观的形．要揭示概念的不同的表达形式．是学生加深对概念的理解与掌握，为以后利用基本概念的不同形式解复杂的数学问题奠定基础，特别对于明显的几何意义概念如相反数、不等式的解集，给出概念的同时一定要结合图形讲几何意义．
第二，熟悉最基本图象．对常见的函数的图形要熟悉，如三种基本函数（一次函数、二次函数、反比例函数）的图形要非常熟悉，另外还要熟练掌握利用图象的变换法（平移、对称、翻转、伸缩）作图．
第三，培养学生的联想能力．联想是以观察为基础的，对研究对象的问题或对象的特点联系已有的知识和经验进行想象的思维方式．培养学生的联想能力有较大的作用．如由二次函数自然联想到一元二次方程。
第四，教师尽可能使用多媒体教学来展示数形结合，以此来激发学生的好奇心和求知欲．教学过程中黑板上的图形再直观、准确，也是一个“死图”，难以通过图形发现变量之间的变化规律．通过多媒体教学，例如《几何画板》，可以让“死图”变“活图”．能充分体现数与形之间的联系及变化规律，使学生理解更深刻，记忆更牢固。在数学解题时，常常会出现一些抽象的问题，既难以想象而又说不清道不明，这时借助于多媒体辅助教学，常常会促进学生的思维链接，让课堂生成变得更精彩。
例7  如图8，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD是等腰梯形，A、B在x轴上，D在Y轴上，AB∥CD，AD＝BC＝，AB=5，CD=3，抛物线y=一x2十bx十c过A、B两点。
　　(1)求b、c的值；
　　(2)设M是x轴上方抛物线上的一动点，它到x轴与y轴的距离之和为d，求d的最大值；
　　(3)当(2)中M点运动到使d取最大值时。此时记点M为N，设线段AC与y轴交于点E，F为线段EC上一动点，求F到N点与到y轴的距离之和的最小值，并求此时F点的坐标。
我在给学生分析该题的解题思路时，其中第(3)小题多数学生不能理解，于是我便利用“几何画板”进行展示，当动点F在EC上运动时，屏幕上显示“F到N点与到y轴的距离之和”的数值，激发了学生对问题更加深刻的思考，很快有学生提出解决问题的思路:作N点关于AC所在直线的对称点Nl，再过点N1作y轴的垂线段NlG，则线段NlG的长便是“F到N点与到y轴的距离之和的最小值”。解题思路的打开就是多媒体“暗示”的结果，我进一步要求学生思考与以前学过的哪一类问题情形相似，学生很快联想到“在同一直线同侧有两个不同点，要在直线上找一点使该点到已知两点距离最小”的情形，再借助多媒体的演示，学生很快明白其中的道理，一个是利用“两点之间，线段最短”，一个是利用“垂线段最短”。令我想不到的是，最后还有学生总结出:除了过去学过的“利用二次函数求最值”的代数方法，今天我们又学会了两种用几何求最值的方法。课堂生成的精彩总是无法预料，这才是多媒体辅助教学应达到的效果!人常说，数学是锻炼思维的体操，恐怕就是因为数学学科中，“数形结合”得最频繁最紧密的缘故吧！用数形结合思想解题，就是利用数学中“形中蕴数，数中涵形”的和谐统一，抓住数与形互相联系的纽带，找出数与形互相渗透的因素，准确地由形想数，正确地以数构形，使形象思维和抽象思维有机结合，互助互促，妥善、完美地解决问题。 “数形结合”为学生架起了具体到抽象的“桥梁”，它对提高学生解题能力的影响是多角度、多方面的，也是深远的，随着我们对“数形结合”认识的愈加深入，“数形结合”的作用也将发挥
第五，教师在新课中“数”、“形”并进，让学生见“数”想到“形”，见“形”不忘“数”．感受到问题一旦形象化了，运算会很方便．习题课中让“数”“形”之妙体现出来．在讲解有关可以用数形结合解题的题目时，调动学生的积极性，运用分组讨论等形式让学生感受到数形结合的便捷和乐趣．还有一类题目也许不能称之为严格意义上的“数形结合”，例如在根据二次函数的图像求一元二次方程的解等题目中，可以根据画图得出答案，也可以通过计算得到答案．对于这类题目，我认为在习题课上应该两种方法都要顾及，然后让学生自己感受两种方法的各自的优点和缺陷，以及如何选择哪种做法、怎样弥补自己解法中的缺陷和错误等等．

六、结论

数形结合思想方法是一种非常有用的数学方法，它能使复杂问题简单化，抽象问题具体化．数形结合思想应用十分广泛，在集合、不等式、函数等多方面都有所涉及。可见，数形结合是一门不可或缺的知识，学生要从单纯的学习数学知识上升到对于数学思想的认识，这样才能真正体会到数学“美”的真谛。另外，数形结合思想是解答数学问题的一种常用方法与技巧，特别是在解决一些疑难问题中有奇特功效，它对于我们进行数学解题和数学研究是非常有帮助的．因此，我们应该在平时的学习和研究中注意培养这种思想意识，真正做到胸中有图，图中有数，不断拓展我们的思维．在教学中要注重数形结合思想方法的培养，在培养学生数形结合思想的过程中,要充分挖掘教材内容,将数形结合思想渗透于具体的问题中,在解决问题中让学生正确理解 “数”与“形”的相对性,使之有机地结合起来．让学生真正的将数形结合思想应用到解题当中去，真正的做到学以致用．

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