发布者：罗黎黎 发布时间：2019-05-24 浏览数( -) 【举报】
三角形中的几何计算
【题型探究】
类型一:三角形面积问题三角形中的几何计算
【典例1】(2015·全国卷Ⅰ)已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC.
(1)若a=b,求cosB.
(2)若B=90°,且a= ,求△ABC的面积.
【解题指南】(1)根据正弦定理将sin2B=2sinAsinC变为b2=2ac,再利用余弦定理求出cosB.(2)利用勾股定理及b2=2ac求出c,然后确定△ABC的面积.
【解析】(1)因为sin2B=2sinAsinC,由正弦定理得
b2=2ac,因为a=b,所以a=2c.
由余弦定理得cosB=
(2)因为B=90°,所以a2+c2=b2,又b2=2ac,所以a2+c2=2ac,
即a=c= 所以S△ABC=
【延伸探究】1.(变换条件、改变问法)本例条件“sin2B=2sinAsinC”换为“sin2B=sinAsinC”,试求cosB的最小值.
【解析】因为sin2B=sinA·sinC,由正弦定理得b2=ac,
故cosB=
因为(a-c)2≥0,所以a2+c2≥2ac,
故cosB≥
所以cosB的最小值为
2.(变换条件、改变问法)若把本例条件“sin2B= 2sinAsinC”改为“sin2B=sinA·sinC”,(2)中的“B=90°”改为“B=60°”,其他条件不变,试求△ABC的面积.
【解析】因为sin2B=sinAsinC,由正弦定理得b2=ac,
因为cosB=cos60°=
所以a2+c2=2ac,即(a-c)2=0,故a=c,
又因为b2=ac,所以a=b=c=
所以S△ABC=
【规律总结】求解与三角形面积有关的平面图形面积的技巧
(1)若平面图形为不规则图形,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积.