发布者：邹晓南 发布时间：2019-06-05 浏览数( -) 【举报】
(二)求解平衡问题的八种方法
专 题 综 述
求解平衡问题的思路可归纳为：
一个核心：合力为零
三个环节：选研究对象——做受力分析——建立平衡关系
八种方法：合成法、正交分解法、图解法、假设法、整体与隔离法、相似三角形法、函数极值法、正弦定理法．
题 型 透 析
1.合成法
对三力平衡问题，一般用合成法：用平行四边形定则，将任意两个力合成，其合力与第三个力等大反向，从三个力组成的三角形中建立关系式．
例1 (2018·吉林二模)在一个圆锥形容器内放置两个完全相同的光滑小球，两个小球静止时球心等高，截面如图所示；已知小球的质量为m，圆锥顶角α＝60°，重力加速度为g；设容器壁对每个小球的弹力大小为N1，小球之间的弹力大小为N2，则( )
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A．N1＝mg，N2＝2mg B．N1＝mg，N2＝mg
C．N1＝2mg，N2＝mg D．N1＝2mg，N2＝mg
【答案】 D
【解析】 对小球受力分析，如图所示：
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N1与N2的合力与重力等大反向
可得：N1＝sin30°(mg)＝2mg；
N2＝tan30°(mg)＝mg.
2.正交分解法
对多力平衡问题，将各力分解到x、y两个垂直的方向上，根据平衡条件Fx＝0，Fy＝0建立关系式，值得注意的是：对x、y方向选择时，尽可能使较多的力落在x、y轴上．
例2 如图所示，物体的质量为2 kg，两根轻细绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ＝60°的拉力F，若要使绳都能伸直，求拉力F的大小范围．(g取10 m/s2)
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【解析】 对A球受力分析，受到拉力F，重力mg，两根细绳的拉力FB、FC，
如图所示，根据平衡条件，有：
x方向：Fcos60°＝FCcos30°＋FBcos30°
y方向：Fsin60°＋FBsin30°＝mg＋FCsin30°
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解得：FB＝mg－3(3)F
FC＝3(3)F－mg
当FB＝0时，F最大，为：Fmax＝20 N；
当FC＝0时，F最小，为：Fmin＝10 N；
故拉力F的范围为：10N≤F≤20 N.
3.图解法
对于动态平衡状态问题，且受三个力作用时，常用图解法分析．根据平行四边形定则，画出物体初状态力的合成矢量图，按照力的变化改变原来的矢量图，依据有向线段长度的变化，判断各个力的变化情况．应用图解法的关键是：明确不变力，弄清变力的变化趋势．
例3 如图所示，质量分布均匀的光滑小球O，放在倾角均为θ的斜面体上，斜面体置于同一水平面上，且处于平衡，则下列说法中正确的是( )
A．甲图中斜面体对球O弹力最小
B．丙图中斜面体对球O弹力最小
C．乙图中挡板MN对球O弹力最小
D．丙图中挡板MN对球O弹力最小
【答案】 D
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【解析】 如图，根据平衡条件得知，斜面体对小球的弹力和挡板对小球的弹力的合力与重力大小相等、方向相反，根据矢量图的变化得知，丁图中斜面体对小球的弹力最小(为零)，丙图中挡板MN对球O弹力FN挡最小，故A、B、C三项错误，D项正确．
4.假设法
在受力分析时，当弹力或摩擦力的方向不能确定时，可用假设法对各种可能情况排除，这是解决多种可能性问题的有效方法．
例4 (多选)如图所示，竖直放置的轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与斜面体P连接，P与斜放的固定挡板MN接触且处于静止状态，弹簧处于竖直方向，则斜面体P此刻受到外力的个数可能为( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
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【答案】 AC
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【解析】 (1)如图甲所示，假设弹簧弹力F等于其重力mg，则MN对P没有力的作用，P受到2个力．
(2)如图乙所示．假设弹簧弹力大于P的重力，则MN对P有压力FN，只有压力FN，则P不能平衡，同时一定存在向右的力，只能是MN对P的摩擦力Ff，因此P此时受到4个力．
5.整体法与隔离法
对多个物体平衡问题，首先要确定研究对象，采用的方法是整体法与隔离法．当分析外力对系统的作用时，宜用整体法；在分析系统内各物体间的相互作用时，常用隔离法．对复杂问题，通常需要多次选取研究对象，交替使用整体法和隔离法．
例5 如图甲所示，两段等长轻质细线将质量分别为m、3m的小球a、b，悬挂于O点．现在两个小球上分别加上水平方向的外力，其中作用在a球上的力大小为F1、作用在b球上的力大小为F2，则此装置平衡时，出现了如图乙所示的状态，b球刚好位于O点的正下方．则F1与F2的大小关系应为( )
A．F1＝4F2 B．F1＝3F2
C．3F1＝4F2 D．3F1＝7F2
【答案】 D
【解析】 设Oa绳、ab绳和竖直方向的夹角为α，根据平衡条件：
以整体为研究对象：
F1－F2＝TOasinα； TOa·cosα＝4mg；
以小球b为研究对象：
Tabcosα＝3mg； F2＝Tabsinα；
由此可得：Tab(TOa)＝3(4)；F2(F1－F2)＝Tab(TOa)，解得3F1＝7F2；故选D项．
6.相似三角形法
在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算．
例6 如图所示，两个带有同种电荷的小球A、B用绝缘轻细线相连悬于O点，已知q1>q2，L1>L2，平衡时两球到过O点的竖直线的距离相等，则( )
A．m1>m2 B．m1<m2
C．m1＝m2 D．不能确定
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【答案】 C
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【解析】 对两小球A、B受力分析如图所示(OC距离为L、Fc与Fc′为所受库仑力)．由力三角形和几何三角形相似，对m1有Fc(m1g)＝x1(L)，对m2有Fc′(m2g)＝x2(L)，由于Fc＝Fc′，可得m2(m1)＝x1(x2)，由于两球到过O点的竖直线的距离相等，所以x1＝x2，m1＝m2，正确答案为C项．
7.三角函数极值法
对于求解平衡中的极值问题，可根据平衡条件，建立几个力的函数关系，用三角函数知识求极值．
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例7 如图所示，质量为m1的不带电小环A套在动摩擦因数为μ＝3(3)的竖直杆上，其最大静摩擦力等于滑动摩擦力，一质量为m2、带电荷量为＋q的小球B与A用一绝缘细线相连，整个装置处于匀强电场中，恰好保持静止，则当电场强度E存在最小值时，E与水平方向的夹角θ为( )
A．0° B．30°
C．45° D．60°
【答案】 D
【解析】 对AB整体研究，受到竖直向下总的重力(m1＋m2)g、电场力Eq、沿水平方向垂直于杆的弹力FN和竖直向上的摩擦力，则由平衡条件可得：
Eqsinθ＋μFN＝(m1＋m2)g，FN＝Eqcosθ.
解得Eq(sinθ＋μcosθ)＝(m1＋m2)g，
因为sinθ＋μcosθ＝sin(θ＋φ)，
其中tanφ＝μ，φ＝30°，
所以当θ＝60°时，E最小，D项正确．
8.正弦定理法
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如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任何一个力的大小分别与另外两个力的夹角的正弦成正比，即
sinα(F1)＝sinβ(F2)＝sinγ(F3).
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例8 如图所示的装置中，两根细绳系住一个小球，两细绳间夹角为θ，细绳AC呈水平状态，现将整个装置在纸面内顺时针缓缓地转动90°角，在转动过程中，保持两绳夹角θ不变．则在转动过程中，CA绳中的拉力FA和CB绳中的拉力FB的大小发生的变化是( )
A．FA先减小，后增大 B．FA先增大，后减小
C．FB逐渐减小 D．FB最后减到零
【答案】 BCD
【解析】 如图所示，小球受到三力作用而平衡，根据正弦定理：
sinθ(G)＝sinα(FA)＝sinβ(FB)，
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所以FA＝sinθ(Gsinα)，FB＝sinθ(Gsinβ).
装置在纸面内顺时针缓缓地转动90°角的过程中，θ不变，由图可知，α角由大于90°的钝角变成小于90°的锐角，而β角由90°增大到180°.由上式可得，FA先增大后减小，FB逐渐减小；当装置刚好转动90°角时，FA＝G，FB＝0.故B、C、D三项正确．