发布者：谢阳春 发布时间：2019-06-11 浏览数( -) 【举报】
第三章 指数函数和对数函数
4．1 对数及其运算
[教学目标]知识与技能理解对数的概念，能够熟练地进行对数式和指数式之间的互化.理解并掌握对数的运算性质.了解对数的发展历史以及对数对简化运算的作用.过程与方法经历由指数得到对数，并引出对数运算性质的研究过程.经历在研究过程中进行猜想、得出规律、并进行证明的过程，体会数学的抽象.体会数学的表征.情感态度与价值观让学生探索、研究、体会、感受对数概念的形成和发展过程,激发对数学的学习兴趣.
[教学重点] 对数的定义，对数的运算性质和应用
[教学难点] 对数符号的理解
[教学过程]
问题的提出： 2000年我国国民生产总值为a亿元，如果按每年平均增长8.2%估算，经过多少年国民生产总值是2000年的2倍？
师生共同分析，得出关系式 .
那么，怎么解出x的值？通过本节课的学习，可以解决这个问题.
情境设计：
我们知道，在这个等式中，2为底数，3是指数，8称为是2的3次幂，简称是幂值. 在数学运算中，常常需要进行逆运算. 比如2的几次幂等于8？这个问题是：已知底数以及幂值，求指数。
过程探索：
在指数式：中，如果我们要运算2的几次幂等于16？3的几次幂等于9？4的几次幂等于64？7的几次幂等于7？5的几次幂等于1？ 上述问题的共同点是：已知底数、幂值，求指数。 如果把上述这些问题换一种表达方式：给出的两个值，前一个数表示底数，后一个数表示幂值，那么这些问题可以写成：底数 幂2 82 163 93 94 647 7 5 1 从上面我们也知道，当底数以及幂值已知时，它们对应的指数是一个确定的值.那么，如果我们把两个数放置在一起，想表达“前者是底数，后者是幂”的时候，能不能借助什么符号来直截了当地表达呢？如果写成（2，8），（2，16）…，显然会与点的坐标混淆；如果写成 就会和分数混淆；如果写成 ,就会和指数幂混淆。似乎只能借助文字才能表达清楚，暂时无法找到合适的符号。
事实上，这个问题早在17世纪就是数学家们思考的问题。17世纪，笛卡尔发明了幂的记号，指数的概念才产生。苏格兰数学家纳皮尔1614年出版了《奇妙的对数说明书》标志了对数的诞生，他将“底数和幂值已知时”对应的数称之为“logarithm”，这个词是希腊文logos（比）和arithmos（数）组合而成。一直到18世纪，瑞士数学家欧拉创用了这一记号，并发现指数与对数的联系，直接引发了计算上的革命。
也就是说，欧拉的发明了符号后，解决了上面的表达困境。比如： 底数 幂
符号表示 对应的指数值 2 8
32 16
43 9
24 64
37 7
15 1
概念的抽象： 一、对数的概念一般地，如果（a>0,且a≠1）,那么b=，称b是以a为底N的对数。 比如符号就是表达：底数是2，幂值是8时对应的指数。显然，这个指数的值是3.因此，上面这些符号可以用等式表达成：=3 ,=4 ,=2 ,=2 ,=1 ,. 同样地，如果b=，那么 (a>0,且a≠1). 通常将以10为底的对数叫做常用对数，记作, 以无理数为底的对数叫做自然对数，=. 由于b=与之间可以互相转化，因此将前式代入后式中可以得到对数恒等式 .另外还有 ，=1. 例1 将下列指数式化成对数式： （1） （2）（3） 例2 将下列对数式化成指数式：（2）（3）例3 求下列各式的值 （2） （3）（4）ln1解略.回到本节课开头的问题，根据对数的定义可知x= .这个值可以借助计算器算出.二、对数的运算性质我们知道，指数的运算性质有：（1）, （2） ,. 那么，对数的运算有什我们知道，指数的运算性质有：（1）, （2） ,. 那么，对数的运算有什么性质呢？以性质（1）为例，师生共同探究。从对数的概念可以知道，对数的本质就是（用底数和幂值）表示指数式里的“指数”，因此指数p、q之间的运算p+q就可以把指数改写成对数来表示。设，则性质（1）可以写成MN=,转化成对数式则有p+q= ,又由于p= ，q= ,因此=.鼓励学生探索根据指数的运算性质（2），（3）推导对应的对数的运算性质，并尝试证明。 一般地，对数的运算性质如下（a>0，且a≠1，M>0, N>0）: （1）= （2）= （3） 例4 计算 （1） （2） 知识的巩固：1.课堂练习：P.80:1,2,3; P.83:1,2,32.作业