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分类讨论思想在等腰三角形中的应用

【摘要】纵观近几年的全国中考试卷，可发现以等腰三角形为载体的试题屡见不鲜。但由于等腰三角形有其特殊性（等腰三角形两腰相等，两底角相等，三线合一），再加上题中未给出具体图形和受思维定式的影响，学生很容易出现因考虑不周而导致漏解、错解。要避免这些错解、漏解，关键是在解题中运用分类讨论思想。

所谓分类讨论思想，就是当数学问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象进行分类然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的答案。本文将从具体问题中论述分类讨论思想在等腰三角形中的应用。

【关键词】分类讨论   等腰三角形   具体应用

一、当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论

例1、 已知等腰三角形的一个内角为70°，则其顶角为（    ）

A. 40°   B. 70°  C. 110°  D. 40°或70°

分析：70°角可能是顶角，也可能是底角。当70°是底角时，则顶角的度数为180°－70°×2=40°；当70°角是顶角时，则顶角的度数就等于70°。所以这个等腰三角形的顶角为40°或70°。故应选D。

说明：对于一个等腰三角形，若题中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。

二、当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论

例2、（1）已知等腰三角形的两边长分别为7cm和10cm，求周长。

（2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长。

分析：由于题中并未给出哪条边是“腰”，哪条边是“底”，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形，因此必须进行分类讨论。

解：（1）因为7+7>10，10+10>7，则在这两种情况下都能构成三角形：

当腰长为7时，周长为7+7+10=24；

当腰长为10时，周长为10+10+7=27；

∴这个三角形的周长为24cm或27cm。

解：（2）当腰长为3时，因为3+3<7，所以此时不能构成三角形；

当腰长为7时，因为7+7>3，所以此时能构成三角形，因此三角形的周长为7+7+3=17；

∴这个三角形的周长为17cm。

说明：对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形。

三、当高的位置关系不确定时，必须进行分类讨论

例3、等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25⁰，求这个三角形顶角的度数。

分析：由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行分类讨论；另外，还要结合图形，分高在三角形内还是在三角形外。

解：依题画图，AB=AC，BD⊥AC；

（1）当高与底边的夹角为25⁰时，即∠DBC=25⁰ 高一定在

△ABC的内部，如图1，

∵∠DBC=25⁰，∴∠C=90⁰-∠DBC=90⁰-25⁰=65⁰，

∴ ∠A=180⁰-2×65⁰=50⁰。                                 图1       

（2）当高与另一腰的夹角为25⁰时，                              

 ①如图1，高在△ABC内部时，                              

当∠ABD=25⁰时，∠A=90⁰-∠ABD=65⁰，    

②如图3，高在△ABC外部时，∠ABD=25⁰，                  

∴∠BAC=∠ADB +∠ABD=90⁰+25⁰=115⁰                           图2                                                    

∴  这个三角形顶角的度数是50⁰ 或65⁰或115⁰  

说明：对于此类问题，图2即高在三角形外部最容易遗漏，

必须要画出所有可能的图形，分高在三角形内部和外部。

四、由腰的垂直平分线所引起的分类讨论                     

例4、在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直

平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40⁰，

求底角B的度数。

分析：题目中AB边上的垂直平分线与直线AC                  图3

相交有两种情形；                                            

解：（1）当当交点在腰AC上时，ΔABC是锐角三角形，如图3，

∠ADE=40⁰，则∠A=90⁰-∠ADE=50⁰，

∵AB=AC，  ∴∠B=（180⁰-50⁰）÷2=65⁰。

（2）当交点在腰CA的延长线上时，ΔABC为钝角

三角形，如图4，即∠ADE=40⁰，则∠DAE=50⁰，               

∴∠BAC=130⁰，∵AB=AC，∴∠B=（180⁰-130⁰）÷2=25⁰，     图4   

故∠B的大小为65⁰或25⁰。

说明：这里的图4最容易漏掉，求解时一定要认真分析题意，画出所有可能的图形。

五、由腰上的中线引起的分类讨论

例5、若等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。

分析：如图5，由于题目中的“一腰上的中线分周长为9cm

和12cm两部分”并未指明是“AB+AD=9cm、BC+CD=12cm”

还是“AB+AD=12cm 、BC+CD=9cm”，因此必须分

两种情况讨论。                                           图5

解：如图5， 设这个等腰三角形的腰长是cm，底边长为cm。

（1） 当AB+AD=9cm、BC+CD=12cm 时，可得解得

（2） 当AB+AD=12cm 、BC+CD=9cm时，可得解得

∴当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是5cm。

说明：这里所求出来的解应满足三角形三边关系定理。

【参考文献】

[1]刘文武.中学数学中重要的数学思想—分类讨论思想[M]，科学出版社，2003

[2]吕凤祥.中学数学解题方法[M]，哈尔滨工业大学出版社，2012

[3]陈志平.关于等腰三角形中分类讨论问题的探究[M]，吉林教育出版社，2013

[4]荣德基.特高级教师点拨八年级数学上册人教版R版, 吉林教育出版社, 2012

[5]黄坚强.初中数学分类讨论思想在解题中的应用[M]，科学出版社，2013