1.1.1.1集合的含义与表示

教学分析

课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发，结合实例给出元素、集合的含义、性质、表示方法之外，还特别注意渗透了“概括”与“类比”这两种常用的逻辑思考方法．因此，建议教学时，应引导学生从大量的实例中概括出集合的含义；多创设让学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，以便学生在实际应用中逐渐熟悉自然语言、集合语言和图形语言各自的特点和表示方法，能进行相互转换并且灵活应用，充分掌握集合语言．与此同时，本小节作为高一数学教学的第一节新授课，知识体系中的新概念、新符号较多，建议教学时先引导学生阅读课本，然后进行交流、讨论，让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用．这样，既能够培养学生自我阅读、共同探究的能力，又能提高学生主动学习、合作交流的精神．

三维目标

1．了解集合的含义；理解元素与集合的“属于”关系；熟记常用数集专用符号．

2．深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题．

3．能选择不同的形式表示具体问题中的集合．

重点难点

教学重点：集合的 基本概念与表示方法．

教学难点：选择适当的方法表示具体问题中的集合．

课时安排

1课时

教学过程

新课导入：

思路1．集合对我们来说可谓是“最熟悉的陌生人”．说它熟悉，是因为我们在现实生活中常常用到“集合”这个名词；比如说，军训的时候，教官是不是经常喊：“高一(4)班的同学，集合啦！”那么说它陌生，是因为我们还未从数学的角度理解集合，从数学的层面挖掘集合的内涵．那么，在数学的领域中，集合究竟是什么呢？集合又有着怎样的含义呢？就让我们通过今天这堂课的学习，一起揭开“集合”神秘的面纱．

思路2．你经常会 谈论你的家庭，你的班级．其实在讲到你的家庭、班级的时候，你必定在联想构成家庭、班级的成员，例如：家庭成员就是被你称为父亲、母亲、哥哥、姐姐、妹妹、弟弟……的人；班级成员就是与你在同一个教室里一起上课、一起学习的人；一些具有特定属性的人构成的群体，在数学上就是一个集合．那么，在数学中，一些对象的总体怎样才可以构成集合、集合中的元素有哪些特性？集合又有哪些表示方法呢？

这就是本节课我们所要学习的内容．

思路3．“同学们，在小学和初中的学习过程中，我们已经接触过一些集合的例子，比如说：有理数集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合(圆)，那么大家是否能够举出更多关于集合的例子呢？”(通过两个简单的例子，引导大家进行类比，运用发散性思维思考说出更多的关于集合的实例，然后教师予以点评．)

“那么，集合的含义究竟是什么？它又该如何表示呢？这就是我们今天要研究的课题．”

推进新课

新课讲解：

列举生活中常见的集合例子：

（1） 全班学生组成的集体

（2） 某中学的高一全体学生

定义：我们把研究对象统称为“元素”，把一些元素组成的总体叫做“集合”．

提出问题：

通过以上的学习我们已经知道集合是由一些元素组成的总体，那么是否所有的元素都能构成集合呢？请看下面几个问题.

①近视超过300度的同学能否构成一个集合？

②“眼神很差”的同学能否构成一个集合？

③比较问题①②，说明集合中的元素具有什么性质？

集合的三个特征：

（1）确定性：对于给定的集合，它的元素必须是确定的，即任何一个元素要么在这个集合中，要么不在这个集合中，这就 是集合中元素的确定性．

（2）互异性：一个集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素不能重复出现．

（3）无序性：集合中的元素是没有先后顺序的

②大家能否从问题①中总结出元素与集合的关系？

③A表示“1～20内的所有质数”组成的集合，那么3__________A，4__________A.

讨论结果 ：①a是集合B中的元素，a不是集合A中的元素．

②a是集合B中的元素，就说a属于集合B，记作a∈B；a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A.因此元素与集合的关系有两种，即属于和不属于．

③3∈A,4 A.

提出问题

①从这堂课的开始到现在，你们注意到我用了几种方法表示集合吗？

②字母表示法中有哪些专用符号？

③除了自然语言法和字母表示法之外，课本还为我们提供了几种集合的表示方法？分别是什么？

④列举法的含义是什么？你能否运用列举法表示一些集合？请举例！

⑤能用列举法把下列集合表示出来吗？

小于10的质数；

不等式x－2＞5的解集.

⑥描述法的含义是什么？你能否运用描述法表示一些集合？请举例！

⑦集合的表示方法共有几种？

讨论结果：①两种，自然语言法和字母表示法．

②非负整数集(或自然数集)，记作N；

除0的非负整数集，也称正整数集，记作N*或N＋；

整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R.

③两种，列举法与描述法．

④把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．例如“地球上的四大洋”组成的集合可以用列举法表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}，方程x2－3x＋2＝0的所有实数根组成的集合可以用列举法表示为{1,2}．

⑤“小于10的质数”可以用列举法表示出来；“不等式x－2＞5的解集”不能够用列举法表示出来，因为这个集合是一个无限集．因此，当集合是无限集或者其元素数量较多而不便于无一遗漏地列举出来的时候，如果我们再用列举法来表示集合就显得不够简洁明了．

⑥用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．例如，不等式x－2＞5的解集可以表示为{x∈R|x＞7}；所有的正方形的集合可以表示为{x|x是正方形}，也可写成{正方形}．

⑦自然语言法、字母表示法、列举法、描 述法．

应用示例

例1 下列所给对象不能构成集合的是__________．

(1)高一数学课本中所有的难题；

(2)某一班级16岁以下的学生；

(3)某中学的大个子；

(4)某学校身高超过1.80米的学生．

活动探究：教师首先引导学生通过读题、审题，了解本题考查的基本知识点——集合中元素的确定性；然后指导学生对4个选项进行逐一判断；判断所给元素是否能构成集合，关键是看是否满足集合元素的确定性．

解析：(1)不能构成集合．“难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确的标准，对于一道数学题是否是“难题”无法客观地判断．实际上一道数学题是“难者不会，会者不难”，因而“高一数学课本中所有的难题”不能构成集合．

(2)能构成集合，其中的元素是某班级16岁以下的学生．

(3)因为未规定大个子的标准，所以(3)不能组成集合．

(4)由于(4)中的对象具备确定性，因此，能构成集合．

答案：(1)(3)

例2 用列举法表示下列集合：

(1)小于10的所有自然数组成的集合；[来源:学科网]

(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；

(3)由1～20以内的所有质数组成的集合．

活动探究：讲解例2的过程中，可以设计如下问题引导学生：

针对例2(1)：①自然数中是否含有0？②小于10的自然数有哪些？③如何用列举法表示小于10的所有自然数组成的集合？

针对例2(2)：①解一元二次方程的方法有哪些？分别是什么？②方程x2＝x的解是什么？③如何用列举法表示方程x2＝x的所有实数根组成的集合？

针对例2(3)：①如何判断一个数是否为质数(即质数的定义是什么)？②1～20以内的质数有哪些？③如何用列举法表示由1～20以内的所有质数组成的集合？[来源:学科网ZXXK]

在用列举法表示集合的过程中，应让学生先明确集合中的元素，再把元素写入“{　}”内，并用逗号隔开．

解：(1)小于10的自然数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}；

(2)方程x2＝x的两个实根为x1＝0，x2＝1，设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}；

(3)1～20以内的质数有2, 3,5,7,11,13,17,19，设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．

点评：本题主要考查了集合表示法中的列举法，通过本题的教学可以体会利用集合表示教学内容的严谨性和简洁性.

变式训练

1．用列举法表示下列集合：

(1)一年之中的四个季节组成的集合；

(2)满足不等式1＜1＋2x＜19的素数组成的集合．

答案：(1){春季，夏季，秋季，冬季}；

(2){2,3,5,7}．

2．已知集合A＝x∈N86－x∈N，试用列举法表示集合A.

解：由题意可知6－x是8的正约数，当6－x＝1时，x＝5；当6－x＝2时，x＝4；当6－x＝4时，x＝2；当6－x＝8时，x＝－2；而x≥0，∴x＝2,4,5，即A＝{2,4,5}．

点评：变式训练1主要对列举法进行了考查；变式训练2考查了两个方面的知识点，一是元素与集合的关系，二是列举法的应用，体现了对知识综合应用的能力.

例3 试分别用列举法和描述法表示下列集合：

(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；

(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．

活动探究：讲解例3的过程中，可以设计如下问题引导学生：

针对例3(1)——列举法

①方程x2－2＝0的解是什么？

②如何用列举法表示方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合？

针对例3(1)——描述法

①描述法的定义是什么？

②所求集合中元素有几个共同特征？分别是什么？

③如何用描述法表示所求集合？

针对例3(2)——列举法