等比数列的前n项和

一、教学设计

1. 教材分析

本节内容为现行北师大版《必修5》的第一章第三节的核心内容。课标要求：学生经历等比数列前n项和公式的探索过程，掌握等比数列前n项和公式及推导方法，并能进行简单应用．

2. 学情分析

本节课的授课对象为赣州市赣县中学高一年级实验B班．从课本的“贷款”游戏，实例引入分析等差数列与等比数列的前n项。从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和进行类比．而本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，等差数列前n项和公式的推导利用倒序相加法，本节公式的推导利用错位相减法则对学生的思维能力提出更高的要求．

3. 教学目标

（1）学生通过课前问题提出部分，课堂演绎模拟贷款游戏，提出问题：对于等比数列前n项和如何进行计算，再引入“国王与国际象棋发明者的故事”，体验数学的魅力和数学文化的熏陶。

（2）学生通过研究性学习和小组合作探究的方式，掌握等比数列前n项和公式的不同推导方法，领悟公式的本质，并能运用公式解决简单问题。

（3）学生在经历等比数列前n项和公式的发生、发展、推导和证明的过程中，感悟特殊到一般、方程与函数、划归与转化等数学思想，形成基本活动经验，重点提升数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养。

4. 教学重难点

教学重点：等比数列前n项和公式的导出及其应用。

教学难点：等比数列前n项和公式的探究及其推导。

5. 教学策略

等比数列前n项和公式是高中数学的重要内容，普遍采用的推导方法是带有技巧性的“错位相减法”，求和公式及其推导方法都是教材和教师直接“告知”，并非自然产生。有鉴于此，本节课追寻历史足迹，借鉴历史规律，揭示知识之谐，展现方法之美，引发情感之悦，营造不一样的课堂．“让学习真正发生”，首先在于教师有“让”的意识，本节课为了做到 “教师在后、学生在前”，教师先给充分的资料和空间让学生自学和互学，营造积极的探究氛围，在课堂上展开小组谈论和交流，碰撞出思想与智慧的火花。

教学流程如下：

6．教学过程

环节一：演史剧，发现等比数列提出问题

学生表演国际象棋的传说并设计如下问题串：

问题1：故事里每格棋盘上的麦粒依次构成一个什么数列？

生1：首项为1，公比为2的等比数列

问题2：铺满这64格棋盘需要的麦粒总数是多少？

生1：可以看成是首项为1，公比为2的等比数列的前64项和即

师：等于多少，逐项相加吗？

生2：项数多，不太现实，我觉得可以和等差数列求和一样，从特殊到一般，找规律

师：如何找规律？请大家尝试一下.

生3：我是这么想的，计算出，发现它们都是的形式，因而我猜想.

【设计意图】通过学生表演国际象棋的传说激发学生的兴趣和探究欲望，通过一系列的问题将故事情节与相关知识点联系起来，从情景中看到数学问题.通过结论的探求让学生学会研究陌生问题，可采用特殊到一般的方法入手。

环节二：试猜想，提炼等比求和公式

师：若将公比变为，项数变为，你觉得的结果是？

生4： 

生5：我觉得生4不对，很明显如果，时，结果就不对．

师：说明我们仅由的猜想太过片面，为了使得结果具有更加说服性，请大家完成以下表格？

师：根据大家所填的表格，你能够猜想出结论吗？

生6：

师：大家都同意上述结果吗？有没有需要注意的地方？

生7：我觉得不能代表时的求和公式，当时，由于相同数的累加即为乘法，很容易得出结果为.

师：若将首项改为，你能计算出的结果吗？

生8:可以观察发现每项都有提取公因式变为即可转化为刚刚的问题.

师：那么等比数列求和公式是什么？

生9：时数列的每一项都相等，，当时，

师：我们可以将这两种情况写成什么样的形式？

生10：分段函数，即

【设计意图】本环节的目的是为了让学生合理的猜出数等比数列的前n项和公式．通过对棋盘故事的深入探讨，从公比为2，到公比为3,4直至公比为，这样从具体到抽象，由特殊到一般符合教学的一般规律，让学生真正意义上参与到公式的猜想中去，感受知识的生成过程．

环节三：巧变形，证明等比求和公式

师：通过同学们的共同探索我们得到了等比数列前n项和公式．（板书公式）

师：猜想是创新能力的一部分，同学们刚才的猜想思维活跃，灵活有序，表现太精彩了，这个猜想你们觉得可靠吗？（齐答：不可靠）数学是一门严谨的学科，任何公式的猜想都需要严格的推导和证明．下面请同学们结合课前的预习，将自主探究的成果在小组内分享和交流，和组内成员一起来揭示这个公式的证明过程．

（等待1-2分钟）

生11：通过预习课本，我知道了错位相减法，这种方法是18世纪瑞士大数学家欧拉在《代数学基础》中采用的．

具体做法如下

两边同乘以得往后错一位相减可得

其他小组有没有需要补充的或者存在疑惑的？

生12：我有点困惑，为什么想到两边同乘以q呢？

生11：因为根据等比数列的定义，后一项是前一项的q倍，乘以q后前一项就变成了后一项，那中间很多项相同了，这样就可以达到消项的目的，只剩下很少的几项，就可以运用累加法．

生13：根据等比数列定义，既然刚才能同乘以q，那么我觉得两边同乘以．

师：大家觉得行吗？还可以乘以什么

生14：乘以也可以.

师:很好，往前错位和往后错位本质都是一样的利用了等比数列的定义，来消掉了中间的很多项，看来你们已经掌握了错位相减的本质，有没有其他不同的推导方法的？

生15：我用的是掐头去尾法，这种方法是18世纪法国数学家拉克洛瓦给出来的

具体做法如下：

发现化简可得

师：也很好，其他小组有没有需要补充的？

学生16：我们小组成员也另外一种不同做法，提取因式法，这种方法的原理古埃及人和印度人早已掌握，但他们没有我们今天的代数符号，古埃及人未能获得求和公式．受古人原理的启发，我们的具体做法如下：

再利用相当于两个方程解两个未知数，可以得到从而求出

师：这个推导过程，有没有细节上的问题？

生17：第一个公比不能等于1，还有证明中用到了要强调n大于等于2.

师：方法巧妙，补充也很正确，同学们以后在书写过程中一定要特别注意细节．还有没有不同的想法的？

生18：我们小组经过讨论用的是等比定理法具体做法如下：

根据等比数列的定义，再利用合比定理可以得到从而求出我们惊喜的发现，这种方法古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中用过．

师：很好，观察很仔细．同学们刚才展示了四种不同时期不同数学家的证明方法，请同学们相互之间再交流下，你们觉得这四种证法都用了哪些数学思想？

生19：我觉得第1种方法用到了方程的思想，得到关于的两个方程来求

生20：我觉得后三种方法都用了等比数列的定义．

师：同学总结的都很好，其实四种方法都用了等比数列的定义．在数学发展史上一些伟大的数学结论都来源一些经典的猜想和数学家呕心沥血，前仆后继的不断思考，探究和证明．今天同学们的精彩表现展示了这一艰辛的历程，所有数学发现都为我们实际应用带来了巨大的方便．

【设计意图】本环节的目的是让学生收集资料证明公式，深入挖掘公式背后的隐性价值．让学生质疑，提炼本质，重视细节．其中错位相减法这种消项的方法也是后面解决差比型数列求和的一种有效方法，而等比定理法也对合分比性质做了一个巩固，当然这其中还有很多的证明方法，如裂项等；并从中感受对公式变形的本源性思想。

环节四：适运用，解决等比求和问题

师：之前我们一起猜了公式，并且也证明了公式，下面我们一起来运用公式，让我们把目光回到课堂开始提出的问题1，体验一下求和公式的便利．

生21：带入公式可得．

师：64次方，同学们想知道这个值有多大吗？(齐答想)约为粒，约7000亿吨，用这么多粒小麦能从地球到太阳铺设一条宽10米、厚8米的大道,按2018年世界粮食总产量25.87亿吨来计算，是全世界粮食产量的270多倍. 显然国王兑现不了他的承诺．

师：要求出和，从公式分析来看，你们觉得需要明确哪几个量.

生22：:明确首项、公比和项数．

师：这刚好也是等比数列的基本量．其实在中国古代就有能人智士思考过这样的一个问题．

“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有多少盏灯？

师：请同学们计算看看塔尖究竟有几盏灯呢？

生23：这是一个数列求和的逆向问题，设塔尖有盏灯，由题意各层宝塔的红灯数依次构成以为首项，2为公比的等比数列．将q=2，n=7带入等比数列求和公式可得解得，所以塔尖顶上有3盏灯．

师：解答规范，结果准确．和同学们在一起学习交流是愉快的，收获也很多，下面请同学们对本节课做个小结可以从知识也可以从思想方法都行．

生24:本节课从知识上来讲我学习了等比数列的求和公式，运用公式时要注意公式的应用条件合理选择公式，还知道了公式的4种推导方法，还有公式可以正用和逆用．从研究方法上来看，可以从特殊到一般．并且感受到数学问题源于生活，数学知识服务于生活．

【设计意图】本环节的目的是让学生巩固并运用等比数列求和公式．数学家波利亚说过“数学教学是解题的教学”，知识的呈现离不开问题，知识的巩固来自问题的解决；这一环节第一个问题和情景引入的问题遥相呼应，使得整个教学过程流畅自然．

二、教学反思

本课注重数列教学的整体性，以系统观为指导，在数列“一般观念”的指引下，采取数列公式教学应有的 “猜想” “证明”“应用”的教学模式．除此之外，在新一轮课程改革中，力图突出教学过程中学生的主体地位，渗透数学学科的核心素养，达到数学育人的根本任务，提出了一种创新性设想，采取了研究性学习这一教学模式.让学生在数学的历史长河中自由徜徉与探索．

整个教学情景线上围绕等比数列求和的发展历史进行展开：以历史剧本为引，发现数学问题；以历史史实为例，提出等比数列求和问题；以历史名人为翼，分析并解决等比数列求和问题；教学流程上遵照三个基本的教学环节围绕“猜公式”，“证公式”，“用公式”进行展开，让学生在猜想中提炼，在证明中延伸，在应用中升华；教学策略上让学生课前收集材料，自主学习，课间展示成果，质疑互学，课下探索实例，师生交流，让学生真正意义上做课堂的主人．

可取之处：教学设计上打破常规的教学模式，采取研究性学习模式，以生为本，让学生在数学史实中不断探索前进，而教师始终扮演“引路人”的角色，通过问题驱动，历史线索完成本节课的教学目标，突出了数学源于生活，服务于生活，探索出公式课教学的一种新型有效的教学模式．让学生在以后的生活中，会用等比数列求和的眼光观察生活中数列问题（如银行中的存款的复利），用数列的语言表达生活中的数列问题，用所学到的等比数列知识分析生活中出现的等比数列求和知识．

改进之处：本节课在公式猜想，归纳，证明，运用等都做了力所能及的工作．但求和从一定程度上是一种代数变形，求和的理论基础是等比数列的定义，求和的本质是消项，让学生通过查史实忽略了对公式推导的过程，尤其是其中涉及到的一些如错位相减这一常用求和技巧认识不到位．教学环节中应增设公式推导的本源性思考，如为什么要这么变形，求和的本质是什么．当然万事万物都有两面性，教学是解决教与学的矛盾，而我们也只能尽力解决一些主要矛盾，不足之处需要在接下来的教学过程中逐步完善．路漫漫其修远兮，吾将上下而求索.