等差数列》教学设计

教材：北师大版必修五 2.2

教学目标：1、理解等差数列的定义；会根据等差数列的通项公式求某一项的值；会根据等差数列的前几项求数列的通项公式。2、通过启发、讨论、引导、边教边练边反馈的方法提高学生思考问题、解决问题的能力。3、培养学生的逻辑推理能力；培养学生在探索中学习知识的精神，增强学生相互合作交流的意识。

教学重点：会求等差数列的通项公式。

教学难点：理解等差数列的通项公式的推导。

教学准备：课件

教学过程：

一、创设情境，引入课题

①  如图1所示：一个堆放铅笔的V形架的最下面

 一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1

支，这个V形架的铅笔从最下面一层往上面排起的

铅笔支数组成数列：1，2，3，4，……

②某个电影院设置了20排座位，这个电影院从第1排起各排的座位数组成数列：

38，40，42，44，46，……

③全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码（表示以cm为单位的鞋底的长度）由大到小可排列为：25,24.5,24,23.5,23,22.5,22,21.5.

二、      师生互动，探索新知

教师:请同学们仔细观察，你发现这三组数列有什么变化规律？

生：数列①从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于多少；

数列②从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于多少；

数列③从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于多少；

[设计说明：采用边教学边反馈的方式，有利于教师及时了解学生理解新知识的程度,增强学生学好数学的信心]

教师引导学生观察上面的数列①、②、③的特点。

提出问题1：上面三个数列的共同特点是什么？

学生：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。

教师：这样我们就得到了等差数列的定义。

<一>等差数列的定义:如果一个数列从它的第2项起每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列；这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。等差数列的公差d的数学表达式为：。

基础训练：1、上面数列①的公差d= ; 数列②的公差d= ;

数列③的公差d=

[设计说明:有利于学生扫除语言与符号转换的障碍]

2、下面的数列中，哪些是等差数列？若是，求出它的公差；若不是，则说明理由。

(1)   6,10,14,18,22,……；(2)9,8,7,6,5,4,3,2;(3)3,3,3,3,3,3;(4)1,0,1,0,1,0,1,0.

提出问题2:任何一个数列一定是等差数列吗?如果是等差数列,公差一定是正数吗?

师生讨论得出结论:

(1)、一个数列是等差数列必须具有这样的特点: 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；

(2)（2）等差数列的公差d可能是正数、负数、零。

[设计说明:从具体数列入手，有利于较多基础差的学生理解等差数的定义，判断数列是否为等差数列转换成具体的步骤：求后面一项与前面一项的差，看这些差是否相等]

提出问题3：等差数列的公差d的数学表达式为：，

揭示了求公差d可以用哪些式子表示？

师生共同活动：等，

变式：

提出问题4：如果等差数列只知道首项，公差d，那么这个数列的其他项如何表示？

师生共同活动：

…,

[设计说明:问题3、问题4的提出训练学生的变形思想、递归思想，从而引出等差数列的通项公式及学生容易理解通项公式的变形公式]

＜二＞等差数列的通项公式:

 等差数列的任一项为，则它可以表示为：，这就是等差数列的通项公式。

（说明：通项公式即对于等差数列的每一项都适用的公式，包括第一项：）

提出问题5：有个等式？

如果将上述等式相加会得到等式：

，

，可求出等差数列的通项公式： （叠加法）

由提出问题4的师生活动可知通项公式的变形：

，，

小结：等差数列的通项公式： ①，

变形公式：、②（注意不一定大于）

公式的认识与理解：

1、通项公式含有四个量，根据公式之间的联系，由方程的思想，知三可求一；

2、与两项直接相关时一般用公式①，与两项直接相关时一般用公式②

三、   合作交流，熟练技能

例1 求等差数列5，7，9，11，……的通项公式与第10项。

[分析] 这个数列第一项（首项）是5，知第一、二、三、四项，易求公差d，写出通项公式，再利用通项公求出第10项。

解：因为，所以这个等差数列的通项公式是

即。

例2数列是等差数列.

（1）    已知；（2）已知。

[分析] 第（1）题与两项直接相关用公式①，

第（2）题与两项直接相关用公式②

解：（1），，解方程得  。

（2），，解方程得   。

[设计说明:例1列出等差数列的前面四项，让学生学会观察数列的首项，学会直接求出等差数列的公差，增强感性认识；例2的分析是理性认识等差数列的通项公式及其变形公式]

四、迁移应用，深化提高

1、等差数列中，已知、。

2、在12和60之间插入3个数，使它们与这两个数成等差数列，求这3个数。

[分析] 第1题：与两项直接相关用公式②求出，与两项直接相关或与两项直接相关用公式①求出。

第2题：插入3个数，这个等差数列共有5个数，已知，求这3个数即是求，由等差数列的通项公式中的四个量，将代入公式看成方程，先求出公差d，再代入通项公式可求得这3个数。

补充练习：P119  练习A 1、2

[设计说明:目的是使学生灵活运用等差数列通项公式及其变形公式。尤其是第2题，不少学生不会分析60是第几项，所求的3个数是第几项，即将语言转换成符号的能力是学生的弱项]

五、积累与总结

1、知识梳理

(1)等差数列的定义，公差d的数学表达式为：;

(2)等差数列的通项公式： ①，

变形公式：、②（注意不一定大于）.

2、方法、技巧现规律总结

如果等差数列的前面几项已列出，学会观察数列的首项，学会直接求出等差数列的公差；与两项直接相关时用通项公式，与两项直接相关时用通项公式的变形公式；如果有关等差数列的题目语言文字或数字时，学会把语言转化为符号。

六、作业布置

书本2.2练习A组，B组。导学案2.2例题和练习

七、【教学反思】