21.3  实际问题与一元二次方程

【本节分析】

本单元主要是在具体问题中加深对一元二次方程的综合应用，培养学生对方程的建模意识，同时让学生明确应用题的关键在于（1）弄清题意（2）根据题意，找出等量，列出方程（3）正确求解方程并检验解的合理性.主要有以下四类问题：流感传播问题、增长率问题、营销问题、面积问题.对于数量关系较多学生在思考时可能会有一定的难度，引导学生用图像、表格等不同的形式分析题意，提炼数学信息，并将相关语言翻译为数学语言，进而确定相关量之间的数量关系，最终建立一元二次方程的数学模型.

【学情分析】

此前学生已经学习了应用一元一次方程与二元一次方程组来解决实际问题.本节是讨论如何建立和利用一元二次方程模型来解决实际问题，只是在问题中数量关系的复杂程度上又有了新的发展.用一元二次方程解决实际问题有一定的难度，解决这问题要以多练为主．

【课时安排】

  3课时

21.3  实际问题与一元二次方程

【教学目标】

1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型.

2．能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.

3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.

【教学重难点】

重点:正确列出一元二次方程并根据实际意义检验结果的合理性.

难点:准确判断实际问题中的数量关系，并找到相等关系.

【课前准备】

    多媒体课件

教学设计（一）

【教学过程设计】

一、设计问题，创设情境

    （一）前期回顾

    1．课件出示一个简单的实际问题让学生解决，最快的方法是用一元一次方程来解决这个问题，起到与本节课的类比效果.

2．学生解决完这个实际问题后，提出问题“用一元一次方程解决实际问题需要哪些步骤？”让学生来回顾总结用一元一次方程来解决实际问题所用的步骤.

3．课件出示问题：简单回顾一元二次方程的解法有哪些？

（二）探究活动

1．课件出示实际问题：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

2．教师提出探究活动的问题引导：1. 问题中有哪些数量关系？

                               2. 如何理解“经过两轮传染后共有……”？

                               3. 问题中有怎样的相等关系？

                               4. 如何选取未知数并根据相等关系列出方程？

3．学生活动：根据提出的问题引导进行小组讨论，并把讨论的结果进行记录

设计意图：前期回顾环节是通过解决一个简单的用一元一次方程解决的实际问题，让学生回顾用方程解决实际问题的步骤，达到温故知新，为这节课用一元二次方程解决问题做好铺垫.复习一元二次方程的解法也是本节课的学习需要.对于探究活动，为了让学生有的放矢，设置了几个问题引导，让小组交流更有成效.

二、信息交流，揭示规律

1．学生交流共享：学生将小组交流成果展示，课件展示分析过程，学生填写

（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人

（2）则第一轮的传染源有______人，有________ 人被传染

（3）第二轮的传染源有______人，有__________ 人被传染

（4）两轮过后共有_____________人患了流感？

（5）你能根据问题中的数量关系列出方程并解答吗？

2.学生活动：尝试写出探究一的解答过程，并由一名学生板演.

3.师生出示解答过程，并与学生一起共同定义解题步骤.

4.师生共同归纳总结用一元二次方程解决实际问题的一般步骤，并比较与一元一次方程解决实际问题的异同.

设计意图：本环节注重学生的探究与小组交流活动，为了更高效的完成探究任务，教师设计了几个问题引导，师生共完成问题解决并归纳所需步骤，养成学生边学习边归纳的习惯，掌握好这种数学模型的应用.

三、运用规律，解决问题

  1．学生根据上一环节的解题规律乘胜追击，解决问题“如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？”

2．对于传播问题，教师引导学生进行规律的探索“对类似的传播问题的数量关系你有新的认识吗？”学生交流讨论.

  3．应用新知：某种植物的主干长出若干树木的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干、和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？

4. 教师引导学生找到“枝干”的问题与前面的“传播问题”有何异同？教导学生针对不同的实际问题，找到不同的解决思路，学会具体问题具体分析.

设计意图:对于探究一“传播问题”的一个延伸问题，目的是检验学生是否对这一类问题的数量关系理解透彻，熟练掌握.解决“枝干”问题的过程中提示学生相似问题的解题思路不一定相同，学会具体问题具体分析，而不是简单套公式.

四、变练演编，深化提高

应用：1.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，全组有多少名同学？

2.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?

3.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原数的积为736，求原数.

设计意图：通过这几个不同类型实际问题的解决，让学生熟练掌握用一元二次方程解决实际问题的步骤，并在解决问题的过程中进行总结和反思.

五、反思小结，观点提高

1．用一元二次方程解决实际问题你认为要经过那些过程？

2．比较以前的用一元一次方程解决实际问题，你认为我们这节课更要注意什么问题？谈谈你的感想？

3．本节课我们主要针对解决了一类实际问题，你们能形象的定义一下吗？解决这类问题你们掌握了什么方法或者窍门吗？

设计意图：通过归纳，进一步让学生理解并掌握用一元二次方程解决实际问题的步骤，并对其中的验根环节加以强调.通过对本节课的传播类的问题的研究，帮助学生养成归类总结的好习惯，在学习过程中善于找规律，找捷径.

六、课后作业，分层提升

必做课本第21页习题21.3第2、3、5、6题

七、板书设计：

21.3 实际问题与一元二次方程

解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人    

列方程1+x+x(1+x)=121                   

    解方程，得x₁=10，x₂= -12                

    根据题意，舍去x₂= -12                   

    答：每轮传染中平均一个人传染了10个人    

八、教学反思、

本节课通过引入一个实际问题，让学生掌握了用一元二次方程解决问题的数学模型，学生能够在之前学习的基础上总结出解决问题的一般步骤.难点还是在于由实际问题向数学模型的转化，应该对熟悉问题中的数量关系，找到相等关系这一环节进行大量的练习，以提高学生正确列出一元二次方程来解决实际问题的能力.