9．3　一元一次不等式组

教学目标　　　　　

1．理解一元一次不等式组、不等式组的解集等概念．

2．会解由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组，并会用数轴确定解．

3．通过由一元一次不等式、一元一次不等式的解集、解不等式的概念来类推学习一元一次不等式组、一元一次不等式组的解集、解不等式组这些概念，发展学生的类比推理能力．

教学重难点　　　　　

教学重点：一元一次不等式组的解法．

教学难点：在数轴上找公共部分，确定不等式组的解集．

教学方法　　　　　

通过创设学生熟悉的问题情境，激发学生的学习兴趣，通过引导发现培养学生的类比推理能力，尝试指导培养学生独立思考能力及语言表达能力．

一、创设情境，导入新课

问题：现有两根木条a和b，a长10 cm，b长3 cm.如果再找一根木条，用这三根木条钉成一个三角形木框，那么对第三根木条的长度有什么要求？

由于学生刚学了三角形的三边关系，所以学生容易想到“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的知识．

讨论结果：设第三根木条长度为x cm，则由“三角形两边之和大于第三边”得x＜10＋3，

又由“两边之差小于第三边”得x＞10－3.

第三根木条的长度x同时满足以上两个不等式，而实际生活中一个量需要同时满足几个不等式的例子还有很多．如何解决这样的问题呢？这节课我们来探究这一类问题的解决方法．

教学说明

用学生身边熟悉的实例引入，一方面引起学生的参与欲，一方面也是知识拓展的需要．设计此情境的意图在于：1.复习三角形的三边关系；2.感受同一个x可以有不同的不等式；3.x应该同时符合两个不等式的要求，为引出解集作铺垫． 

二、师生互动，探索新知

1．类比方程组、方程组解的概念得出一元一次不等式组、一元一次不等式组的解集的概念．

(1)由于x同时满足x＜10＋3与x＞10－3两个不等式，所以类比方程组的记法可记为

像这样把两个一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组，如也是一元一次不等式组．

学生总结，教师补充得出一元一次不等式组的概念：

由几个含有相同未知数的一元一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组．

(2)由得即x＜13且x＞7，所以x的取值范围是7＜x＜13.

类比方程组的解的概念可得：一般地，一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做由它们组成的不等式组的解集．

点评：为了直观形象，我们可以借助数轴求公共部分：

(3)求不等式组的解集的过程叫做解不等式．

教学说明

通过学生的分析和解答，让学生根据一元一次不等式的有关概念来类推一元一次不等式组的有关概念．再类比方程组、方程组的解来理解不等式组、不等式组的解集的概念；求不等式组的解集时，利用数轴很直观，也很快捷． 

2．例题讲解

例 解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

(1)　(2)

(3)　(4)

由四名学生板演，其他学生在下面练习，最后师生共同规范订正．

解：(1)解不等式①，得x＞5，解不等式②，得x＞－2，

在数轴上表示不等式①②的解集为

所以这个不等式组的解集是x＞5.

(2)解不等式①，得x＜6，解不等式②，得x≥1，

在数轴上表示不等式①②的解集为

所以这个不等式组的解集是1≤x＜6.

(3)解不等式①，得x＜1，解不等式②，得x≥2，在数轴上表示不等式①②的解集为

它们没有公共部分，故此不等式组无解．

(4)解不等式①，得x＜－3，解不等式②，得x＜，在数轴上表示不等式①②的解集为

所以这个不等式组的解集是x＜－3.

问题：解一元一次不等式组的步骤是什么？

讨论结果：(1)求出不等式组中每个不等式的解集；

(2)借助数轴找出各解集的公共部分；

(3)写出不等式组的解集．

点评：没有公共部分称为不等式组无解．

教学说明

既然不等式组的解集是每一个不等式解集的公共部分，因此必须求出每个不等式的解集，然后才能求它们的公共部分．在这里求公共部分是重点，而求解不等式的解集在上一节已做了练习，因此没有必要把求解不等式的解集的过程全部写出来．让学生明白解不等式组的一般步骤，以后做此类题就按步骤进行． 

3.总结求公共部分的规律

一般由两个一元一次不等式组成的不等式组由四种基本类型确定，它们的解集、数轴表示如下表：(设a＜b)

教学说明

在学生对借助数轴求不等式组解集具备一定的感性积累的基础上，为了加快解题速度，设置了上面这一问题，通过这一问题的解决，还培养了学生的抽象思维能力和总结概括能力．

例 求不等式组的整数解．

三、巩固训练，熟练技能

1．借助数轴求出下列不等式组的解集．

(1)不等式组的解集是______________；

(2)不等式组的解集是________________；

(3)不等式组的解集是______________；

(4)不等式组的解集是________________．

2．解下列不等式组．

(1)       (2)

3．代数式的值小于3且大于0，求x的取值范围．

教学说明

第3题训练学生根据题意列不等式组，学生可能有以下两种列法：0＜＜3或让学生明白这两种列法都是对的． 

答案：1.(1)x＞1　(2)－2＜x＜1　(3)x＜－2　(4)无解　

2．(1)x＜；(2)＜x≤4.

3．－＜x＜4.

四、总结反思，情意发展

1．解不等式组的步骤是什么？

2．怎样求不等式组的解集？

3．在数轴上如何找公共部分，谈谈你的看法．

教学说明

通过对以上三个问题的思考引导学生回顾整节课的学习历程，巩固所学知识，不断完善自己的认识，形成完整的知识结构． 

五、课堂小结

1．本节主要学习了不等式组的有关概念，会解由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组，并会用数轴(或顺口溜)确定解集．

2．用到的主要思想方法是类比思想和数形结合思想．

3．注意的问题：

借助数轴求不等式组的解集时，注意“空心圆圈”与“实心圆点”的区别．

六、布置作业

课本本章习题9.3　第2(1)(2)题．

七、拓展练习

1．不等式组的解集是(　　)．

A．x＞－1       B．x＞0      C．0＜x＜1     D．－2＜x＜1

2．解不等式3≤2x－1≤5.

3．求出不等式组的解集中的正整数解．

4．已知方程组的解都为负数，求m的取值范围．

答案：1.C(此题需要求三个不等式的解集的公共部分)

2．原不等式组可化为解得2≤x≤3.

3．解不等式组，得3≤x≤5，所以不等式组的正整数解为3,4,5.

4．解方程组得

因为方程组的解为负数，所以解得m＜－8.

本节课的设计，以实际问题建立数学模型，通过数学问题引导学生找出问题解决的思路，在这一探索过程中，辅以类比、探索、概括的学习方法，合理设计问题，安排讨论的最佳时机，及时总结揭示数学本质，引发数学思考，期望让学生在自主探索中学得自然、学得主动、学得有效．本节课的重点内容是一元一次不等式组的正确求解，关键却是借助数轴找出不等式组中各不等式解集的公共部分，这种求解集的方式直观形象便于理解，在此基础上引导学生总结寻找公共部分的规律，培养学生的抽象思维能力和总结概括能力．