§2.2　函数的单调性与最值

主备人：董太癸    课时安排:2课时

复习目标：1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.

2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.

知识梳理

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么就称A为单调区间.

2.函数的最值

概念方法微思考

1.在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？

提示　对任意x₁，x₂∈D，x1－x2(f(x1)－f(x2))>0⇔f(x)在D上是增函数，减函数类似.

2.写出对勾函数y＝x＋x(a)(a>0)的递增区间.   提示　(－∞，－]和[，＋∞).

3.在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.

4.函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”

自学检测：

题组一　思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数.(　×　)

(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的递增区间是[1，＋∞).(　×　)

(3)函数y＝x(1)的递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　×　)

(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数.

(　×　)

(5)所有的单调函数都有最值.(　×　)

题组二　教材改编

2.函数f(x)＝x²－2x的递增区间是            .    答案　[1，＋∞)(或(1，＋∞))

3.函数y＝x－1(2)在[2,3]上的最大值是      .        答案　2

4.若函数f(x)＝x²－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是        .

答案　(－∞，2]

题组三　易错自纠

5.函数y＝(x²－4)的递减区间为        .     答案　(2，＋∞)

6.若函数f(x)＝|x－a|＋1的递增区间是[2，＋∞)，则a＝________.  答案　2

7.函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是        .

答案　[－1,1)

8.函数f(x)＝－x2＋2，x<1(，x≥1，)的最大值为        .   答案　2

例题讲练：

题型一　确定函数的单调性

命题点1　求函数的单调区间

例1 (1)函数f(x)＝ln(x²－2x－8)的递增区间是(　　)

A.(－∞，－2)   B.(－∞，1)

C.(1，＋∞)   D.(4，＋∞)      答案　D

(2)函数y＝－x²＋2|x|＋3的递减区间是__________________.答案　[－1,0]，[1，＋∞)

命题点2　讨论函数的单调性

例2　判断并证明函数f(x)＝ax²＋x(1)(其中1<a<3)在[1,2]上的单调性.

引申探究     如何用导数法求解本例？

思维升华　确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图像法，图像不连续的单调区间不能用“∪”连接.(4)具有单调性函数的加减.

跟踪训练1　(1)下列函数中，满足“任意x₁，x₂∈(0，＋∞)且x₁≠x₂，(x₁－x₂)·[f(x₁)－f(x₂)]<0”的是(　　)

A.f(x)＝2^x     B.f(x)＝|x－1|    C.f(x)＝x(1)－x   D.f(x)＝ln(x＋1)   答案　C

(2)函数f(x)＝(a－1)x＋2在R上是增加的，则函数g(x)＝a^|x－2|的递减区间是        .

答案　(－∞，2]

(3)函数f(x)＝|x－2|x的递减区间是        .   答案　[1,2]

题型二　函数的最值

1.函数y＝x2＋1(x2－1)的值域为            .    答案　[－1,1)

2.函数y＝x＋的最大值为           .答案　

3.函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为        .    答案　[3，＋∞)

4.函数y＝x－2(3x＋1)的值域为________________.    答案　{y|y∈R且y≠3}

5.函数f(x)＝3(1)^x－log₂(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为        .答案　3

6.若函数f(x)＝x²＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m(　　)

A.与a有关，且与b有关        B.与a有关，但与b无关

C.与a无关，且与b无关        D.与a无关，但与b有关    答案　B

思维升华　求函数最值的五种常用方法及其思路

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值.

(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.

(4)分离常数法：形如求y＝ax＋b(cx＋d)(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解.

(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.

题型三　函数单调性的应用

命题点1　比较函数值的大小

例3　已知函数f(x)的图像向左平移1个单位后关于y轴对称，当x₂>x₁>1时，[f(x₂)－f(x₁)]·(x₂－x₁)<0恒成立，设a＝f 2(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A.c>a>b     B.c>b>a      C.a>c>b    D.b>a>c     答案　D

命题点2　解函数不等式

例4 设函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是(　　)

A.{x|－3<x<0或x>3}        B.{x|x<－3或0<x<3}

C.{x|x<－3或x>3}          D.{x|－3<x<0或0<x<3}    答案　B

命题点3　求参数的取值范围

例5　(1)(2018·全国Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]上是减函数，则a的最大值是(　　)

A.4(π)         B.2(π)       C.4(3π)   D.π      答案　C

(2)已知函数f(x)＝ax－a，x>1，(a－2，x≤1，)若f(x)在(0，＋∞)上是增加的，则实数a的取值范围为        .        答案　(1,2]

(3)(2018·安徽滁州中学月考)已知函数f(x)＝log₂(x²－ax＋3a)在[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是______________.     答案　(－4,4]

思维升华　函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

(1)比较大小.

(2)解不等式.利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域.        (3)利用单调性求参数.

①依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；

②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；

③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.

跟踪训练2　(1)如果函数f(x)＝ax，x≥1((2－a)x＋1，x<1，)满足对任意x₁≠x₂，都有x1－x2(f(x1)－f(x2))>0成立，那么a的取值范围是        .     答案　，2(3)

(2)已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上是增加的，则满足f(2x－1)<f 3(1)的x的取值范围是______________.     答案　3(2)

(3)已知函数f(x)是定义域为（-1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m-2)+f(2m-3)>0,那么实数m的取值范围______________(1,)

课堂总结：（学生交流与教师整理同时进行）

作业布置：《课时作业》 p33-35            （限时40分钟）