等差数列

一、【教学目标】

1．理解等差数列的概念．

2．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并能运用．

3．理解等差数列的性质，并掌握等差数列的性质及其应用．

二、【知识梳理】

一、等差数列

1．等差数列的概念

一般地，如果一个数列从______起，每一项与它的前一项的差都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的______，通常用字母______表示．

2．等差数列的通项公式

如果一个等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，则通项公式为____________．

3.等差数列通项公式的其他形式．

①a_n＝a_m＋(n－m)d；②a_n＝an＋b(a，b是常数)．

(2)等差数列的判断方法．

①定义法：a_n－a_n－1＝d(n≥2)或a_n＋1－a_n＝d⇔数列{a_n}是等差数列；

②等差中项法：2a_n＝a_n－1＋a_n＋1(n≥2)⇔数列{a_n}为等差数列；

③通项公式法：a_n＝an＋b⇔数列{a_n}是以a₁＝a＋b为首项，以a为公差的等差数列．

4．等差中项

如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的________．x，A，y是等差数列的充要条件是________．

二、等差数列的性质

剖析：若数列{a_n}是公差为d的等差数列，

(1)d＝0时，数列为常数列；d＞0时，数列为递增数列；d＜0时，数列为递减数列．

(2)d＝＝(m，n，k∈N_＋)．

(3)a_n＝a_m＋(n－m)d(n，m∈N_＋)．

(4)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N_＋)，则a_m＋a_n＝a_p＋a_q.

(5)若＝k，则a_m＋a_n＝2a_k.

(6)若数列{a_n}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a₁＋a_n＝a₂＋a_n－1＝…＝a_i＋1＋a_n－i＝….

(7)数列{λa_n＋b}(λ，b是常数)是公差为λd的等差数列．

(8)下标成等差数列且公差为m的项a_k，a_k＋m，a_k＋2m，…(k，m∈N_＋)组成公差为md的等差数列．

(9)若数列{b_n}也为等差数列，则{a_n±b_n}，{ka_n＋b}(k，b为非零常数)也成等差数列．

(10)若{a_n}是等差数列，则a₁，a₃，a₅，…仍成等差数列．

(11)若{a_n}是等差数列，则a₁＋a₂＋a₃，a₄＋a₅＋a₆，a₇＋a₈＋a₉，…仍成等差数列．

三、【典例分析】

题型一 等差数列定义的应用

【例1】判断下列数列是否为等差数列．

(1)a_n＝3n＋2；(2)a_n＝n²＋n.

分析：利用等差数列的定义，即判断a_n＋1－a_n(n∈N_＋)是否为同一个常数．

反思：利用定义法判断等差数列时，关键是看a_n＋1－a_n得到的结果是否是一个与n无关的常数，若是，即为等差数列，若不是，则不是等差数列．

题型二 等差数列的通项公式

【例2】(1)求等差数列10,7,4，…的第20项．

(2)－201是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？若是，应是第几项？

分析：通过题目中给出的数列，可以确定数列的首项和公差，便可求解．

反思：求等差数列的通项公式、项、项数的问题是等差数列最基本的问题，利用已知条件求等差数列的首项和公差是常用方法，应牢记等差数列的通项公式．

题型三 等差数列性质的应用

【例3】数列{a_n}为等差数列，已知a₂＋a₅＋a₈＝9，a₃a₅a₇＝－21，求数列{a_n}的通项公式．

分析：已知数列中某些项与项之间的关系，求其通项，可利用a₁，d建立方程组来求解．但是，注意到a₂，a₅，a₈及a₃，a₅，a₇的各项序号之间的关系，也可考虑利用等差数列的性质来求解，此法运算量较小．

反思：在有关等差数列的问题中，若已知的项的序号成等差数列，则解决问题的过程中，均可考虑利用等差数列的性质．

题型四 构造等差数列求通项公式

【例4】(1)数列{a_n}的各项均为正数，且满足a_n＋1＝a_n＋2＋1，a₁＝1，求a_n；

(2)在数列{a_n}中，a₁＝1，且满足a_n＋1＝，求a_n.

分析：利用题中所给关系的结构特征，构造等差数列，利用所构造的等差数列求a_n.

反思：应熟记几种辅助数列构造方法及其对应数列的结构形式．构造等差数列的方法一般有：平方法、开平方法、倒数法等．

四、【当堂检测】

1．已知数列{a_n}满足a₁＝2，a_n＋1－a_n＋1＝0，则数列的通项a_n等于 (　　)

A．n²＋1 B．n＋1   源C．1－n    D．3－n

2．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是(　　)[来源:Zxxk.Com]

A．第7项    B．第8项  C．第9项     D．第10项

3．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为(　　)

A．26     B．29     C．39     D．52

4．{a_n}是首项a₁＝1，公差d＝3的等差数列，若a_n＝2 011，则n等于(　　)

A．671     B．670    C．669    D．668

5．已知等差数列{a_n}中，a₇＋a₉＝16，a₄＝1，则a₁₂的值是 (　　)

A．15    B．30     C．31     D．64

6．已知a＝，b＝，则a、b的等差中项是________．

7．等差数列{a_n}中，已知a₁＝，a₂＋a₅＝4，a_n＝33，求n的值．

8．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？

9．一个首项为23，公差为整数的等差数列，第7项开始为负数，则它的公差是(　　)

A．－2      B．－3     C．－4     D．－6

[来源:学§科§网Z§X§X§K]

10．若m≠n，两个等差数列m、a₁、a₂、n与m、b₁、b₂、b₃、n的公差为d₁和d₂，则的值为________．

11．一个等差数列{a_n}中，a₁＝1，末项a_n＝100(n≥3)，若公差为正整数，那么项数n的取值有____种可能

12．已知等差数列{a_n}：3,7,11,15，….

(1)135,4m＋19(m∈N^*)是{a_n}中的项吗？试说明理由．[来源:学|科|网Z|X|X|K]

(2)若a_p，a_q(p，q∈N^*)是数列{a_n}中的项，则2a_p＋3a_q是数列{a_n}中的项吗？并说明你的理由．

五、【能力提升】

13、在数列{a_n}中，a₁＝2，a_n＋1＝a_n＋2ⁿ＋1.

(1)求证：数列{a_n－2ⁿ}为等差数列；

(2)设数列{b_n}满足b_n＝2log₂(a_n＋1－n)，求{b_n}的通项公式．

六、【归纳总结】

高一数学必修5第二章第2节（1）课题：等差数列答案

当堂检测

1．D　2.B　3.C　4.A　5.A　6.

7．解　由a_n＝n－＝33，解得n＝50.

8．解　根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以，可以建立一个等差数列{a_n}来计算车费．

令a₁＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么，当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a₁₁＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．

即需要支付车费23.2元．

9．C　10.　11.5

12．解　a₁＝3，d＝4，a_n＝a₁＋(n－1)d＝4n－1.

(1)令a_n＝4n－1＝135，∴n＝34，

∴135是数列{a_n}中的第34项．

令a_n＝4n－1＝4m＋19，则n＝m＋5∈N^*.

∴4m＋19是{a_n}中的第m＋5项．

(2)∵a_p，a_q是{a_n}中的项，

∴a_p＝4p－1，a_q＝4q－1.

∴2a_p＋3a_q＝2(4p－1)＋3(4q－1)＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1∈N^*，

∴2a_p＋3a_q是{a_n}中的第2p＋3q－1项．

能力提升

13证明： (1) (a_n＋1－2^n＋1)－(a_n－2ⁿ)＝a_n＋1－a_n－2ⁿ＝1(与n无关)，

故数列{a_n－2ⁿ}为等差数列，且公差d＝1.

解：(2)由(1)可知，a_n－2ⁿ＝(a₁－2)＋(n－1)d＝n－1，

故a_n＝2ⁿ＋n－1，所以b_n＝2log₂(a_n＋1－n)＝2n.