21．2.1　配方法

第1课时　直接开平方法

教学内容

运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．

教学目标

理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．

提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax²＋c＝0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex＋f)²＋c＝0型的一元二次方程．

教学重难点

重点：运用开平方法解形如(x＋m)²＝n(n≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想．

难点：通过根据平方根的意义解形如x²＝n，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)²＝n(n≥0)的方程．

教学过程

一、教师导学

学生活动：请同学们完成下列各题

问题1.填空

(1)x²－8x＋________＝(x－________)²；

(2)9x²＋12x＋________＝(3x＋________)²；

(3)x²＋px＋________＝(x＋________)².

问题2.如图，在△ABC中，∠B＝90°，点P从点B开始，沿AB边向点A以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB＝6cm，BC＝12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm^2?

老师点评：

问题1：根据完全平方公式可得：(1)16　4；(2)4　2；(3)(2(p))²　2(p).

问题2：设x秒后△PBQ的面积等于8cm²

则PB＝x，BQ＝2x

依题意，得：2(1)x·2x＝8

x²＝8

根据平方根的意义，得x＝±2

即x₁＝2，x₂＝－2

可以验证，2和－2都是方程2(1)x·2x＝8的两根，但是移动时间不能是负值．

所以2秒后△PBQ的面积等于8cm².

二、合作与探究

上面我们已经讲了x²＝8，根据平方根的意义，直接开平方得x＝±2，如果x换元为2t＋1，即(2t＋1)²＝8，能否也用直接开平方的方法求解呢？

(学生分组讨论)

老师点评：回答是肯定的，把2t＋1变为上面的x，那么2t＋1＝±2

即2t₁＋1＝2，2t₂＋1＝－2

方程的两根为t₁＝－2(1)，t₂＝－－2(1)

【例1】解方程：x²＋4x＋4＝1

分析：很清楚，x²＋4x＋4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x＋2)²＝1.

解：由已知，得：(x＋2)²＝1

直接开平方，得：x＋2＝±1

即x₁＋2＝1，x₂＋2＝－1

所以，方程的两根x₁＝－1，x₂＝－3

【例2】市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m²提高到14.4m²，求每年人均住房面积增长率．

分析：设每年人均住房面积增长率为x.一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)²

解：设每年人均住房面积增长率为x，

则：10(1＋x)²＝14.4

(1＋x)²＝1.44

直接开平方，得1＋x＝±1.2

即1＋x₁＝1.2，1＋x₂＝－1.2

所以，方程的两根是x₁＝0.2＝20%，x₂＝－2.2

因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x₂＝－2.2应舍去．

所以，每年人均住房面积增长率应为20%.

(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？

共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，即“降次转化思想”．

三、巩固练习

教材P₆　练习．

四、能力展示

某公司一月份营业额为2万元，第一季度总营业额为6.62万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？

五、总结提升

本节课应掌握：

由应用直接开平方法解形如x²＝p(p≥0)，那么x＝±转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)²＝p(p≥0)，那么mx＋n＝±，达到降次转化之目的．

六、布置作业

教材P₁₆　习题21.2　1、2.

第2课时　配方法

教学内容

通过变形运用开平方法降次解方程．

教学目标

理解通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．

通过复习可直接化成x²＝p(p≥0)或(mx＋n)²＝p(p≥0)的一元二次方程的解和不能直接化成上面两种形式的解题步骤．

教学重难点

重点：讲清“直接降次有困难，如x²＋6x－16＝0的一元二次方程的解题步骤”．

难点：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．

教学过程

一、教师导学

(学生活动)请同学们解下列方程

(1)3x²－1＝5　(2)4(x－1)²－9＝0

(3)4x²＋16x＋16＝9

老师点评：上面的方程都能化成x²＝p或(mx＋n)²＝p(p≥0)的形式，那么可得

x＝±或mx＋n＝±(p≥0)．

如：4x²＋16x＋16＝(2x＋4)²

二、合作与探究

列出下面问题的方程并回答：

(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？

(2)能否直接用上面三个方程的解法呢？

问题：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为500m²，道路的宽为多少？

解：设道路的宽为x，则可列方程：(20－x)(32－2x)＝500　整理，得：x²－36x＋70＝0

(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后一个不具有．

(2)不能．

既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程

【例1】解方程：x²－36x＋70＝0.

老师点评：x²－36x＝－70，x²－36x＋18²＝－70＋324，(x－18)²＝254，

x－18＝±，x₁－18＝或x₂－18＝－，x₁≈34，x₂≈2.

可以验证x₁≈34，x₂≈2都是原方程的根，但x≈34不合题意，所以道路的宽应为2.

【例2】解下列关于x的方程

2x²－4x－1＝0

解：x²－2x－2(1)＝0　x²－2x＝2(1)

x²－2x＋1²＝2(1)＋1　(x－1)²＝2(3)

x－1＝±2(6)即x₁－1＝2(6)，x₂－1＝－2(6)

x₁＝1＋2(6)，x₂＝1－2(6)

可以验证：x₁＝1＋2(6)，x₂＝1－2(6)都是方程的根．

像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．

三、巩固练习

教材P₉　练习1　2.(1)、(2)．

四、能力展示

如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝8m，BC＝6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．

五、总结提升

本节课应掌握：

配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．

六、布置作业

教材P₁₇　习题21.2　3.