平面的基本性质

教材分析

这篇案例是在初中平面几何知识的基础上进一步研究平面的基本性质．平面的基本性质是研究立体几何的基本理论基础，这节课既是立体几何的开头课，又是基础课，学生对本节内容理解和掌握得如何，是能否学好立体几何的关键之一．这节课的教学重点是平面的基本性质，难点是平面的基本性质的应用及建立空间概念、正确应用符号语言．

教学目标

1. 在引导学生观察思考生活中的实例、实物模型等的基础上，总结和归纳出平面的基本性质，初步学会用数学的眼光去认识和感受现实的三维空间．

2. 会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述三个公理，能用公理及推论解决有关问题，提高学生的逻辑推理能力．

3. 通过画图和识图，逐步培养学生的空间想象能力，使学生在已有的平面图形知识的基础上，建立空间观念．

任务分析

这节课是立体几何学习的基础，但学生空间立体感还不强．为此，教学时要充分联系生活中的实例，如自行车有一个脚撑等，通过实例，使学生尽快形成对空间的正确认识，建立初步的空间观念；在联系实际提出问题和引入概念时，要合理运用教具，如讲解公理1时，可让学生利用手中的直尺去测桌面是不是平的；讲解公理2时可让学生观察教室的墙面的关系等．通过这些方式加强由模型到图形，再由图形返回模型的基本训练，逐步培养学生由图形想象出空间位置关系的能力．当用文字和符号描述对象时，必须紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，即在图形的基础上发展其他数学语言．在阐述定义、定理、公式等重要内容时，宜先结合图形，再用文字和符号进行描述，综合运用几种数学语言，使其优势互补，这样，就有可能收到较好的效果，给学生留下较为深刻的印象．

教学设计

一、问题情景

1. 利用你手中的直尺，如何判定你课桌的桌面是不是平的．

2. 你骑的自行车有一个脚撑就可站稳，为什么？

3. 矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上，硬纸板与讲台面不重合，能否说这两个平面只有一个公共点？

（利用多媒体屏幕呈现问题情景，即在屏幕上出现桌子与直尺、有一个脚撑的自行车、矩形硬纸与讲台面及相应的问题．与现实生活联系紧密的实物通过多媒体给出，能够活跃课堂气氛，激发学生学习兴趣，从而引导学生积极主动的去探究问题）

二、建立模型

1. 探究公理

（1）问题1的探究

教师提出问题，引发学生思考：

如何用直尺这个工具来判定你的桌面是不是平的呢？

（把直尺放在物体表面的各个方向上，如果直尺的边缘与物体的表面不出现缝隙，就可判断物体表面是平的）

教师点拔：这是判断物体表面是不是平的的一个常用方法．如果物体表面是平的，把直尺边缘无论如何放在平面上，则边缘与平面都没有缝隙，也就是说，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．由此，可以归纳出公理1．

公理1　如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（如图14-1）．

这时我们说，直线在平面内或平面经过直线．这一性质是平面的主要特征．弯曲的面就不是处处具有这种性质．

教师进一步分析：为了书写的简便，我们把代数中刚学习过的有关集合的符号，引入立体几何中．把点作为基本元素，直线、平面即为“点的集合”，这样：

点A在直线a上，记作A∈a；

点A在直线a外，记作Aa；

点A在平面α内，记作A∈α；

点A在平面α外，记作Aα；

直线a在平面α内，记作aα；

直线a在平面α外，记作aα．

公理1用集合符号表示为：A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，则有ａα．

例：证明如果一个三角形的两边在一个平面内，那么第三边也在这个平面内．

注意：在分析过程中，一定要强调“要证明直线在平面内，则应该证明什么？条件中有没有，没有如何去创造”．通过这种逆推思路的分析，培养学生良好的思考习惯．

练习：判断下列命题的真假

① 如果一条直线不在平面内，则这条直线与平面没有公共点．

② 过一条直线的平面有无数多个．

③ 与一个平面没有公共点的直线不存在．

④ 如果线段AB在平面α内，则直线AB也在平面内a．

（2）问题2的探究

教师提出问题，引发学生思考：

自行车有一个脚撑就可站稳，为什么？

（因为前轮着地点、后轮着地点、脚撑着地点三点在一个平面上，而且为了站稳，前轮着地点、后轮着地点、脚撑着地点三点不共线，因此我们可以推测：过不共线的三点有且只有一个平面）

教师演示：用相交于一点的三根小棍的三个端点作为空间不在一直线上的三个点（如图14-2），当把作为平面的硬纸板放在上面时，这张作为平面的硬纸板不能再“动”了，因为一动就要离开其中的一个点，硬纸板所在平面就不能确定了，正如同刚才的发现：过不共线的三点有且只有一个平面．

公理2　经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．（如图14-3）

公理2也可以简单地说成：不共线的三点确定一个平面．

教师演示课件：在空间给定不共线的三点A，B，C（如图14-4），作直线AB，BC，CA，再在直线BC，CA，AB上分别取动点P，Q，R，作直线AP，BQ，CR，让P，Q，R分别在直线BC，CA，AB上运动，我们可以看到这些直线“编织”成一个平面．

教师出示问题：试举出一个应用公理2的实例．

（例如，一扇门用两个合页和一把锁就可以固定了）

（3）问题3的探究

教师将矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上，让学生观察，并同时提出问题：能否说这两个平面只有一个公共点？

（不能，因为平面是无限延展的，所以这两个平面应该有一条经过这公共点的直线）

教师点拔：我们只能用有限的模型或图形来表示无限延展的平面，所以我们有时要看模型或图形，但又不能受模型或图形的限制来影响我们对平面的无限延展的了解．这个实例说明了平面具有如下性质．

公理3　如果两个不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．（如图14-5）

公理3的数学符号语言：

P∈α，P∈βα∩β＝a，P∈a．

教师进一步概括：为了简便，以后说到两个平面，如不特别说明，都是指两个不重合的平面．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交．这条公共直线叫作这两个平面的交线．由公理３可见，两个平面如果有一个公共点，那么就有无穷多个公共点，所有公共点在公共直线上，即它们的交线上；交线上的每一个点都是两平面的公共点．

练习：判断下列命题的真假．

①如果两个平面有两个公共点A，B，那么它们就有无数个公共点，并且这些公共点都在直线AB上．

②两个平面的公共点的集合可能是一条线段．

2. 推出结论

教师明晰：由于两点确定一条直线，根据公理2容易得出如下推论：

推论1　经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．

已知：点A，直线a，Aa．（如图14-6）

求证：过点A和直线a可以确定一个平面．

分析：“确定一个平面”包含两层意思：一是存在，二是唯一．这两层都应证明．

（说明：这个证明可以由教师引导学生一起分析完成，但步骤教师一定要板书）

证明：存在性．

因为Aa，在a上任取两点B，C，

所以过不共线的三点A，B，C有一个平面α．（公理2）

因为B∈α，C∈α，

所以a∈α．（公理1）

故经过点A和直线a有一个平面α．唯一性．如果经过点A和直线a的平面还有一个平面β，那么Ａ∈β，ａβ，

因为B∈ａ，C∈ａ，

所以B∈β，B∈β．（公理1）

故不共线的三点A，B，C既在平面α内又在平面β内．

所以平面α和平面β重合．（公理2）

所以经过点A和直线ａ有且只有一个平面．有时“有且只有一个平面”，我们也说“确定一个平面”．

类似地可以得出下面两个推论：

推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面．（如图14-7）

推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面．（如图14-8）

三、解释应用

［例　题］

两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．（如图14-9）

已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C．

求证：直线AB，BC，AC共面．

证法1：因为AB∩AC＝A，

所以直线AB，AC确定一个平面α．（推论2）

因为B∈AB，C∈AC，

所以B∈α，C∈α，

故BCα．（公理1）

因此，直线AB，BC，CA都在平面α内，即它们共面．

证法2：因为A直线BC，

所以过点A和直线BC确定平面α．（推论1）

因为A∈α，B∈BC，所以B∈α．

故ABα，

同理ACα，

所以AB，AC，BC共面．

证法3：因为A，B，C三点不在一条直线上，

所以过A，B，C三点可以确定平面α．（公理2）

因为A∈α，B∈α，所以ABα．（公理1）

同理BCα，ACα，所以AB，BC，CA三直线共面．

思考：在这道题中“且不过同一点”这几个字能不能省略，为什么？

（不能，如果三条直线两两相交且过同一点，则这三条直线可以不共面）

［练　习］

1. 三角形、梯形是平面图形吗？

2. 已知：平面α外有一个△ABC，并且△ABC三条边所在的直线分别与平面α交于三个点P，Q，R．求证P，Q，R三点共线．

四、拓展延伸

1. 四条直线两两相交且不过同一点，这四条直线是否一定共面？

2. 两个平面最多可以把空间分成几个部分？三个平面呢？四个平面呢？