当前位置 :项目首页 > 研修成果 > 正文

一元二次方程

第二课时

    教学内容

    1．一元二次方程根的概念；

    2．根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目．

    教学目标

    了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．

    提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题．

    重难点关键

    1．重点：判定一个数是否是方程的根；

    2．难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．

教学过程

一、复习引入

    学生活动：请同学独立完成下列问题．

问题1．如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？

    设梯子底端距墙为xm，那么，

    根据题意，可得方程为___________．

    整理，得_________．

列表：

    问题2．一个面积为120m²的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？

    设苗圃的宽为xm，则长为_______m．

    根据题意，得________．

    整理，得________．

列表：

    老师点评（略）

    二、探索新知

    提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？

    （2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？

    老师点评：（1）问题1中x=6是x²-36=0的解，问题2中，x=10是x²+2x-120=0的解．

    （3）如果抛开实际问题，问题（1）中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解．

    为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：

    一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．

    回过头来看：x²-36=0有两个根，一个是6，另一个是－6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x=-12的根也满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．

    例1．下面哪些数是方程2x²+10x+12=0的根？

    -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．

    分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．

    解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x²+10x+12=0的两根．

    例2．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？

    （1）x²-64=0    （2）3x²-6=0     （3）x²-3x=0

    分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义．

    解：（1）移项得x²=64

    根据平方根的意义，得：x=±8

    即x₁=8，x₂=-8

    （2）移项、整理，得x²=2

    根据平方根的意义，得x=±

    即x₁=，x₂=-

    （3）因为x²-3x=x（x-3）

    所以x²-3x=0，就是x（x-3）=0

    所以x=0或x-3=0

    即x₁=0，x₂=3

    三、巩固练习

    教材P₃₃  思考题  练习1、2．

    四、应用拓展

    例3．要剪一块面积为150cm²的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应该怎样剪？

    设长为xcm，则宽为（x-5）cm

    列方程x（x-5）=150，即x²-5x-150=0

    请根据列方程回答以下问题：

    （1）x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．

（2）完成下表：

    （3）你知道铁片的长x是多少吗？

    分析：x²-5x-150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根．

    解：（1）x不可能小于5．理由：如果x<5，则宽（x-5）<0，不合题意．

    x不可能等于10．理由：如果x=10，则面积x²-5x-150=-100，也不可能．

（2）

    （3）铁片长x=15cm

    五、归纳小结（学生归纳，老师点评）

    本节课应掌握：

    （1）一元二次方程根的概念及它与以前的解的相同处与不同处；

    （2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根；

    （3）要会用一些方法求一元二次方程的根．

    六、布置作业

    1．教材P₃₄  复习巩固3、4  综合运用5、6、7  拓广探索8、9．

    2．选用课时作业设计．

     作业设计

    一、选择题

    1．方程x（x-1）=2的两根为（  ）．

      A．x₁=0，x₂=1     B．x₁=0，x₂=-1     C．x₁=1，x₂=2     D．x₁=-1，x₂=2

    2．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（  ）．

    A．x₁=b，x₂=a       B．x₁=b，x₂=    C．x₁=a，x₂=      D．x₁=a²，x₂=b²

    3．已知x=-1是方程ax²+bx+c=0的根（b≠0），则=（  ）．

      A．1      B．-1      C．0      D．2

    二、填空题

    1．如果x²-81=0，那么x²-81=0的两个根分别是x₁=________，x₂=__________．

    2．已知方程5x²+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．

    3．方程（x+1）²+x（x+1）=0，那么方程的根x₁=______；x₂=________．

    三、综合提高题

    1．如果x=1是方程ax²+bx+3=0的一个根，求（a-b）²+4ab的值．

    2．如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．

    3．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（）²-2x+1=0，令=y，则有y²-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法），解决小明给出的问题：在（x²-1）²+（x²-1）=0中，求出（x²-1）²+（x²-1）=0的根．

答案:

一、1．D  2．B  3．A

二、1．9，-9  2．-13  3．-1，1-

三、1．由已知，得a+b=-3，原式=（a+b）²=（-3）²=9．

2．a+c=b，a-b+c=0，把x=-1代入得

ax²+bx+c=a×（-1）²+b×（-1）+c=a-b+c=0，

∴-1必是该方程的一根．

3．设y=x²-1，则y²+y=0，y₁=0，y₂=-1，

即当x²-1=0，x₁=1，x₂=-1；

当y₂=-1时，x²-1=-1，x²=0，

∴x₃=x₄=0，

∴x₁=1，x₂=-1，x₃=x₄=0是原方程的根．