当前位置 :项目首页 > 研修成果 > 正文

1.2  有理数

【目标导航】

1．进一步加深对负数的认识.

2．理解有理数的意义,并能将给出的有理数进行分类.

【预习引领】

1.你所学过的数分为几类?你是按照什么分

类的?

2.将下列各数填写在相应的数集内：

正数集合：｛　　…｝；

负整数集合：｛　…｝；

非正分数集合：｛…｝；

【要点梳理】

知识点一:有理数的概念

正整数、0、负整数统称为整数．

正分数和负分数统称为分数．

整数和分数统称为有理数．

注意：⑴有限小数和无限循环小数都是分数，而无限不循环小数不能化为分数，也不是整数，所以就不是有理数；

⑵0和正整数统称为自然数；

⑶引入负数后，奇数和偶数的范围也扩大了，如-2是偶数，-3是奇数．

例1 把下列各数填入相应集合的括号内：＋8.5，－，0.35，0，3.14，12，－9，0.3，－2，π，10%．

正有理数集合：｛8.5，0.35，3.14，12，0.3，π，10%　　…｝；

负分数集合：｛－　　　　　　…｝；

非正整数集合：｛8.5，－，0.35，0，3.14，－9，0.3，－2，π，10%　　　　…｝；

有理数集合：｛8.5，－，0.35，0，3.14，12，－9，0.3，－2，10%　　　　…｝；

小结：

1．一个数可能属于多种数的集合；

2．0既是非负数，又是非正数；

3．    非正整数应理解为非正的整数，非负整数应理解为非负的整数．

例2　判断下列语句是否正确，对的打“√”，错的打“×”．

⑴0是整数，也是偶数；√

⑵有最小的自然数，但没有最小的整数；×

⑶能被2 整除的数是偶数；√

⑷正整数和负整数统称为整数；×

⑸－88是负有理数，是偶数；√

⑹奇数都是正数；×

⑺非负整数和负整数统称为整数；×

⑻在有理数中，不是正数的数一定是负数；×

⑼不存在最大的负有理数；√

⑽存在最大的负整数．√

知识点二：有理数的分类

⑴按数的结构（整数、分数）分：

⑵按数的性质（正、负性）分：

例3将下列各数填入相应的圈内：

－0.6，－8，2.1，－809，0.4，，，0，3.01001000100001….

负数集合　整数集合　分数集合　正数集合　　　

例4 　如图所示的A、B、C表示三个数的集合，每个集合中所包含的数都写在各自的大括号内，请把这些数填写在集合圈内相应的位置上．

A：｛－2，－3，－8，6，7，…｝；

B：｛-3,-5,1,2,6,…｝；

C：｛-1,-3,-8,2,5,…｝.

小结：⑴有理数有多种分类，但不管哪一种分类，都必须按同一统一的标准进行，且要做到不重不漏．

⑵按不同的分类标准，同一个数可能会属于不同的数集．

例5　小明家与学校位于东西方向的国道边，规定向东行走的路程为正数．已知小明每分钟走80米，12分钟就能走到学校，用有理数表示小明从家出发到达学校的全路程为

　80×12=960米　　．

例6  一位数学老师为了提高学生学习数学的兴趣，在上课时，安排了两个活动：

⑴猜谜语：“考试不作弊”，打一数学名词．

⑵做游戏：A、B分别代表不大于5的正整数，且是最简真分数，那么形如－的数集中有多少个不同的有理数？

答：⑴真分数⑵最简真分数可以是：

归纳与小结：

1.有理数的概念及分类．

2.分类讨论的数学思想及标准．

【课堂操练】

1.把下列各数分别填入相应的大括号内．

-5，0.05，，－4.2，26，－36，10.8，0，+1，10%，π．

正有理数集合：｛0.05， 26， 10.8，+1，10%…｝；

负分数集合：｛，－4.2，　　…｝；

非正整数集合：｛-5，0.05，，－4.2，－36，10.8，0，10%，π　　　　　　　　　…｝；

有理数集合：｛-5，0.05，，－4.2，26，－36，10.8，0，+1，10%…｝；

非负分数集合：｛-5，0.05，26，－36，10.8，0，+1，10%，π…｝

负数集合：｛-5，，－4.2，－36，…｝；

2.下列说法中正确的是　　　（ C ）

　A．有理数是指整数、分数、正有理数、0、负有理数这五类数

B．一个有理数不是正数就是负数

C．一个有理数不是整数就是分数

D．以上说法都不对

3.下列说法不正确的是　　　　　（　C　）

A．有最小的正整数，没有最小的负整数

B．一个整数不是奇数就是偶数

C．－3.14是分数，但不是有理数

D．－1和0之间没有负整数

4.如图圆圈表示负数集、整数集和正数集．其中有甲、乙、丙三个部分，这三部分的数的个数为（　B　）

负数集　整数集　正数集

A．甲、丙两部分有无数个，乙部分只有一个是0

B．甲、乙、丙三部分都有无数个

C．甲、乙、丙三部分都只有一个

D．甲只有一个，乙、丙两部分有无数个

5.观察下列各式的规律，并填空：

⑴1×3＋1＝2²，　 2×4＋1＝3²，

3×5＋1＝4²，   4×6＋1＝5²，

则第10个式子是　10×12＋1＝112　．

⑵1＝1²，1＋3＝2²，1＋3＋5＝3²，

1＋3＋5＋7＝4²，1＋3＋5＋7＋9＝5²，

则第20个式子是　　　1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27＋29+31＋33＋35＋37＋39＝202　　　　　．

  ⑶1×3＝1²＋2×1，2×4＝2²＋2×2，

3×5＝3²＋2×3，4×6＝4²＋2×4，

则第20个式子是　　　20×22＝202＋2×20　　　　　．

【课后盘点】

1.下列对于0的说法，错误的是　　（　B　）

A．0是有理数　　B．0是最小的整数

C．0不是正数　　D．0不一定表示没有

2.给出下列各数：4.443， 0，π，，3.1159，－1000，．其中有理数和非负数的个数分别是　　　　（　B ）

　   A．7和5       B．6和5

 C．5和4       D．4和4

3.下列分类中，错误的一个是　　（　B　）

A．　B．

C．　　D．

4.给出一个有理数－107.987及下列判断：

⑴这个数不是分数，但是有理数

⑵这个数是负数，也是分数

⑶这个数与π一样，不是有理数

⑷这个数是一个负小数，也是负分数

其中正确判断的个数　　　　（　B　）

A．1    B．2     C．3    D．4

5.冬季某天我国三个城市的最高气温分别为―10℃，1℃，―7℃，把它们从高到低排列正确的是　　　　　　　　（　C　）

　A．―10℃，―7℃，1℃

B．―7℃，―10℃，1℃

C．1℃，―7℃，―10℃

D．1℃，―10℃，―7℃

6.－78属于 负整数 集合，也属于　整数　集合，也属于　有理数　集合．

7. 如果按“被3除”来分，整数可分为　能被3整除的　、　被3除余1的　　、　被3除余2的　三类．

8.某仓库第一天运进＋100箱水果，第二天运进－70箱，第三天运进＋55箱，第四天运进－64箱，四天共使仓库内增加了多少箱水果？

答：因为100-70+55-64=21，所以四天共使仓库内增加了21箱水果。

9. 某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1km，气温大约降低6℃,若该地地面温度为21℃,高空某处温度为－39℃，求此处的高度是多少千米？

解：（39+21）÷6=10千米

答：此处的高度是10千米。

10.光明奶粉每袋标准质量为454g，在质量检测中，超出标准质量2g记作＋2g，若质量低于或高于标准质量3g以上，则这袋奶粉视为不合格产品，现抽取10袋样品进行质检，结果如下（单位：g）

⑴这10袋奶粉中，有哪几袋不合格？

⑵质量最多的是哪袋？它的实际质量是多少？

⑶质量最少的是哪袋？它的实际质量是多少？

解：⑴这10袋奶粉中，有哪5袋不合格；

⑵质量最多的是第6袋，实际质量是459g；

⑶质量最少的是第9袋，实际质量是449g。

11. 有一种数字游戏可以产生“黑洞数”，操作步骤如下：第一步，任意写出一个自然数（以下称为原数）；第二步，再写一个新的三位数，它的百位数字是原数中各数位上偶数的个数，十位数字是原数中各数位上奇数的个数，个位数字是原数的位数；以下每一步都对上一步得到的数，按照第二步的规则继续操作，直到这个数不再变化为止．　

　　　不管你写的是一个什么数，几步之后变成的自然数总是相同的，最后这个相同的数就叫它为“黑洞数”，请你以2008为例，尝试一下（可以选另一个自然数作为检验，不用写出检验方程）：2008，一步之后变为　404　　　，再变为　303　　　，再变为　　123　　，……，“黑洞数”是　123　　．

【课外拓展】

用字母表示数

代数式的概念:象5，a，ab，x²，这样用基本的运算符号（运算包括加、减、乘、除以及以后要学的乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．

一个字母可以表示一切有理数．

例1　指出下列各式中哪些是代数式，哪些不是代数式？

⑴S＝πR² ；       ⑵9c；  

⑶a＋b＋c；　　　　⑷5－7；

⑸3m－2n＝12 ；　  ⑹41；

⑺b＋d>d＋a ；   　⑻b²＋n²．

解：⑵、⑶、⑷、⑹、⑻是代数式，⑴、⑸、⑺不是代数式

例2 　用代数式表示下列各题：

⑴比a与 b的和小3的数；

⑵比a除以 b的3倍小10的数；

⑶a、 b两数的平方和；

⑷a与 b平方的和；

⑸x的2倍除以y的商的平方；

⑹x的2倍与y的的商．

解：⑴(a+b)-3；⑵3a×b-10；

⑶a2+b2；⑷a+b2；

⑸（2x÷y）2；⑹2x÷y．

注意：列代数式时先读的先写．

例3 填空：

⑴一个长方形的宽是acm，长是宽的倍，则长是　　a　　　cm.

⑵一个正方形的周长为2bcm，与它周长相等的长方形的长是acm，则长方形的宽为b-a ．

⑶某工厂去年的产量是a万吨，今年比去年增长0.5万吨，今年的产量是　　a+0.5　万吨．

⑷某工厂去年的产量是a万吨，今年比去年增长0.5，今年的产量是　a+0.5　万吨．

⑸某打字员要打a张蜡纸，原计划每天打b张，工作了c天后还剩　　a－bc　张蜡纸没打完．

⑹甲、乙两地相距m千米，从甲地到乙地骑自行车a小时可以到达，步行b小时可以到达．那么从甲地到乙地骑自行车的速度是每小时　m÷a　千米，步行的速度是每小时　m÷b　　千米，骑自行车比步行每小时快　m÷a－m÷b　　千米．

⑺绿豆发芽成绿豆芽，重量增加6.5倍，则m千克的绿豆可发芽得到　6.5m　千克的绿豆芽．

⑻某商品原价a元，降价x%后的价格是　a(1- x%)　元．

⑼某商品降价x%后的价格是a元，则原价是　a÷(1- x%)　元．

⑽A、B两地相距S千米，甲、乙两人分别以a千米／时、b千米／时的速度同时从Ａ、Ｂ两地出发，若相向而行，则需　S÷(a+b)　　　小时两人相遇；若同向而行（甲在乙前，b>a），则需　　S÷(b －a)　小时乙能追上甲．

例4 设a、b表示整数,用含a或b的代数式表示:

⑴两个连续整数；

⑵两个连续奇数；

⑶被5除余2的数；

⑷十位数字是a，个位数字是b的两位数；

⑸与b的积是a的数．

解：⑴a,a+1;⑵2a+1或2a-1；⑶a÷5+2

⑷10a+b;⑸a÷b

归纳与小结：

1.代数式的概念．

2.代数式的书写格式要规范：

⑴在代数式中出现字母与字母或字母与数的相乘时，乘号通常写成“”，或省略不写,数字与数字相乘一般仍用“”号．

⑵如果是数字与字母相乘，数字要写在字母的前面，而带分数与字母相乘时，要把带分数化为假分数．

⑶在代数式中出现除法运算时，一般不用“÷”号而写成分数形式．

⑷代数式中，单位名称要写在最后，若是和差关系，必须把代数式用括号括起来．

【课堂操练】

1.数－a一定表示负数吗？

答：不一定。

2. 观察下列各式的规律，并填空：

1×3＋1＝2²， 2×4＋1＝3²， 3×5＋1＝4²，

4×6＋1＝5²，  则第n个式子是　　n×