21.3实际问题与一元二次方程（2）

【教学目标】

    知识与技能：1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．

2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．

    过程与方法：经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述

情感态度价值观：通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．

   【教学重难点】

教学重点：列一元二次方程解有关传播问题的应用题

教学难点：发现传播问题中的等量关系

【教学过程】

一、情境引入

       据学校后勤部门统计，昨天早餐九年级学生在学校餐厅就餐的有500人，中餐就餐的人数比早餐增加了10％，中餐在学校餐厅就餐的有         人，晚餐比中餐又增加了10％，则晚餐在学校餐厅就餐的有          人；若昨天早餐在学校餐厅就餐的有a人，中餐就餐的人数比早餐增加的百分率为x，中餐在学校餐厅就餐的有          人，晚餐就餐的人数比中餐增加的百分率为x,则晚餐在学校餐厅就餐的有           人

二、探究新知

探究1：宁乡大润发超市去年的营业额为280万元，市场规划部要求明年的营业额达403.2万元，求平均每年增长的百分率？

分析：去年到明年间隔2年，去年的营业额×（1+平均增长率）²=明年的营业额。

学生板演.

归纳总结：

一元二次方程解应用题的一般步骤

（1）审题，分析题意，找出已知量和未知量，弄清它们之间的数量关系；

（2）设未知数，一般采取直接设法，有的要间接设；

（3）寻找数量关系，列出方程，要注意方程两边  的数量相等，方程两边的代数式的单位相同；

（4）选择合适的方法解方程；

（5）检验。

     因为一元二次方程的解有可能不符合题意，如：线段的长度、时间等不能为负数。因此，解出方程的根后，一定要进行检验．

（6）写出答语。

【探究2】

两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？

思考：（1）怎样理解下降额和下降率的关系？

（2）若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了          元，此时成本为             元；两年后，甲种药品下降了          元，此时成本为          元。

（3）对甲种药品而言根据等量关系列方程并求解、选择根？

解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，

    则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x）元．

    依题意，得5000（1-x）²=3000

    解得：x₁≈0.225，x₂≈1.775（不合题意，舍去）

（4）同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率,并比较哪种药品成本的平均下降率较大。

            设乙种药品成本的平均下降率为y．

                   则：6000（1-y）²=3600

                   整理，得：（1-y）²=0.6

                  解得：y≈0.225

答：两种药品成本的年平均下降率一样大

（5）思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？

三、巩固练习

1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程(             )

A.500(1+2x)=720         B.500(1+x)²=720   C.500(1+x²)=720       D.720(1+x)²=500

2.长沙地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训了20万人次，设每年接受科技培训的人次的平均增长率都为x,根据题意列出的方程是                       

3.美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容。某城市近几年来通过拆迁旧房，植草，栽树，修公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）。（1）根据图中所提供的信息回答下列问题：2001年底的绿地面积为            公顷，比2000年底增加了          公顷；在1999年，2000年，2001年这三年中，绿地面积增加最多的是          ____________年；

（2）为满足城市发展的需要，计划到2003年底使城区绿地面积达到72.6公顷，试求2002年,2003年两年绿地面积的年平均增长率。

四、课堂小结

小结：1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实际意义。

2. 用“传播问题”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．

3.对于变化率问题，若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b,则有：（常见n=2）