3.3 《指数函数》教学设计

一 教材依据

本课是北师大版新课标普通高中数学必修1第三章第3节《指数函数》的第一课时的内容。

二 设计思路

1 设计理念

    新课程标准认为课堂教学不仅仅是教师的教，更是学生主动参与、对知识自主建构的过程。建构主义学习理论强调“情境”是学习环境的重要因素，知识不是灌输的，只有在好的情境中生成的知识才是有效的。创设好的情境能使学生感到轻松愉快，学生边感受边理解，从而有利于促进学生思维活动的展开和深入。

2 教材分析

    指数函数是学生在学完第二章函数的概念和性质后系统学习的新的初等函数。它扩充了函数的内涵，加深了学生对函数的理解，特别是学生在指数函数概念与性质的探究中能更深入地理解研究函数的一般模式。

指数函数是高中阶段最重要的一种函数模型。函数模型意在刻画自然界变量间的关系，而指数函数很好地表示了国民经济增长、人口增长、细胞分裂、放射性物质的衰变等现实生活中的实际问题。这有助于学生用变量的眼光、函数的观点去观察世界、分析问题和解决问题，从而提高了学生的数学应用意识。

3 学情分析

（1）已有经验

学生在初中学习了一次、二次函数，高中又系统学习了函数的概念、图像与性质，对研究函数的基本方法有了一定的认识。同时，学生对指数运算已完成了对指数范围的扩充，具备了进行指数运算的能力。

（2）学习困难

考虑到学生已有认知基础和现阶段的思维能力，可能会在下列环节上产生学习困难：一是在对实际问题的探究中，如何运用函数观点建立新的模型，即指数函数概念的由来。二是如何用研究函数的一般模式探究指数函数的性质，特别是底数a的变化对图像和性质的影响。三是如何用单调性比较大小及解指数不等式，从而体现函数思想在解决问题上的重要性。四是对归纳推理，从特殊到一般，具体到抽象及分类讨论等思想方法的运用能力。

（3）学法指导

    主要通过设置情境帮助学生运用函数观点建立新的模型；运用多媒体的图形直观性启迪思维，从图像分析到自主获得性质；鼓励学生多思考，多猜想，并用几何画板做适当的证明，把合情推理和演绎推理相结合；通过引导学生多思、多说、多练，充分地暴露他们的思维过程，并在问题解决中使认识不断深化。

三 教学目标

1知识与能力目标

    理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质，初步学会运用指数函数性质解决问题。 [来

2过程与方法目标

运用情境教学法引入，剖析、定义指数函数的过程，启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的生成过程。通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索指数函数性质，体会研究函数的一般模式的方法，体验成功的乐趣。

3情感态度与价值观目标

通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法，提高学生的学习能力；在自主探究中培养学生勇于发现和创造精神；多媒体手段应用及数学古语的情境设置易于激发学生学习兴趣，树立探索进取精神。

4现代教学手段运用

 发挥多媒体教学和几何画板的优势，增强直观性理解，便于展开思维探索。

四 教学重点

重点：指数函数的概念、图象、性质。

突出重点的策略：用情境教学得到概念，在与幂函数比较和正反例辨析中强化概念。其次，让学生通过列表、描点、连线画出具体函数图像，得到感性认识；然后用几何画板动态演示得到一般性认识，并突出和对图像的影响。

五 教学难点

难点：理解、掌握指数函数中底数a的变化对图像和性质的影响。

突破难点的策略：运用多媒体和几何画板使问题演示具体化，直观化，便于充分暴露思维过程（从图像读性质，及对性质的分析过程），从而达到抽象理论的建立。

六 教学准备

    根据数学古语和细胞分裂创设情境，组织材料；根据第三章3.1,3.2,3.3节内容整合资源，确定教学范围；动手画图的学案材料和几何画板的演示准备；根据学生的思维能力，制作课件，使课堂教学有条不紊地展开。

七 教学过程

教学过程主要分四个阶段：

（一） 概念生成阶段

1 创设情境，建构概念

情境1：某种细胞分裂时，由1 个分裂成2个，2个分裂成4个，......,依此类推，一个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数y与分裂次数x有怎样的函数关系？（多媒体动画演示）

生：通过归纳推理可得：

情境2：我国古代庄子《天下篇》记载有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”大家说说它的意思？

生：一尺的木棒，每天截取一半，永远也截不完。

问题1：一根1米长的木棒，第一次截掉木棒的一半，第二次截掉剩余木棒的一半……截了x次后剩余木棒的长度为y米，试写出y和x的函数关系？

生：通过归纳推理可得：

【设计意图】本设计没有直接把问题1抛给学生，而是从数学古语出发，让学生在细嚼慢咽中，继而引出数学问题，帮助学生用已有的函数知识合理解决。说明用数学的观点看问题的重要性。符合新课程强调培养学生数学应用意识的思想，达到了“润物细无声”的效果。其次，这种情境设置让人耳目一新，学生感到轻松愉快，乐于思考，从而促进了学生心理活动积极展开，也有利于接下来活动的进行。

师：大家观察和这两个函数，见过吗？有什么特征？

生：不认识。但都是幂的形式，底数为常数，指数为变量。

多媒体：指数函数的定义：函数叫指数函数，

其中是自变量。函数定义域是。

【设计意图】由两个情境探究的结果，即从两个具体的函数式出发，由归纳得到指数函数的一般式。这是概念获得的常用方法，学生易于接受。

2 对比辨析，明确概念

探究1：幂函数与指数函数的对比？

生：观察总结：自变量在指数位置是指数函数，自变量在底数位置是幂函数。

探究2：为什么要规定呢？

师：我们知道指数运算已扩展到实数范围，所以指数函数的定义域是。那么是不是任意底数都能进行实数幂运算？试举例说明。

生：讨论，思考，总结。

综上，规定底数

多媒体：练习：下列函数是否是指数函数：

（1）y=3^x      (2)y=2e^x     (3)y=(-2)^x

(4) y=0.3^x    (5)y=x³           (6)y=5^x+2

特别地，是指数函数。

【设计意图】指数函数与幂函数形式上的相近性，及定义中出现了对底数范围和定义域的限制，需要加强理解。通过自主探索，明晰概念，也为后面性质的探讨奠定了基础。本练习主要考察学生对指数函数形式表达的认识，特别注意底数。[来源:学_科_网Z_X_X_K]

（二） 性质探究阶段

师：在前面，我们是如何来研究函数的性质呢？研究函数的性质，考虑哪些方面？

生：通过图像研究性质，函数性质有定义域、值域、单调性、奇偶性和定点等。

【设计意图】这是研究函数的一般模式，以提问的方式是为了让学生回忆和加深应用的意识，也是为下面内容的展开做铺垫。

1 具体指数函数图像的探究

【教学预设】指数函数图像显然与底数的取值有关，根据的范围可写成和两种情况，因此引导学生先简单分类。其次告诉学生太复杂问题，应从简单入手，即从具体图像来分析。

师：如何画图呢？

生：列表—描点—连线。

多媒体：用描点法画出图像，[来源:Z,xx,k.Com]

用描点法画出图像。                        

生：在学案上完成描点法画图。（出现问题：列表中的取值不具有代表性，不完整；无限延伸没有渐近线的意识；没突出过定点等）

多媒体：演示上述结果，统一图像认识。（有一些关键点需要强调：图像左右两边无限延伸性，图像不会超过轴，过点等）

【设计意图】对具体图像的选择要给出学生合理的依据，这点在教学预设中已做说明。选择的具体函数在概念生成阶段已有出现，学生熟悉。再同范围中选两个是为了加强相同范围图像相似性的认识，为后面引出性质和一般图像做铺垫。其次，学生在画图时会出现不准确的情形，这点不影响，在后面多媒体展示可以统一答案。这个过程一定要有，因为在他们画图时会想一个问题，就是如何才能把图画准确，这为后面讲解性质有帮助。

师：观察下面指数函数的图像，你能发现它们的函数图像有哪些特征？

将，和，的图像在同一个直角坐标系中分别做回答：[来源:学科网ZXXK][来源:学科网ZXXK]

问题一：图象分别在哪几个象限？

问题二：图象的上升、下降与底数a有联系吗？

问题三：图象中有哪些特殊的点？

问题四：指数函数的图像是否具有对称性？

      问题五：指数函数和的图像有什么特征？

生：讨论，回答。

【设计意图】通过上述五个问题，让学生学会从数学角度“读图”，即不能凭视觉看到，还要用函数的性质做简单的证明，即由图像得出性质。如问题一，需要从定义域和值域两方面作答；问题二，让学生从底数a的不同来认识图像的不同：上升和下降，也为后面单调性的分类讨论打基础；问题三，特别强调等式在图像上的反映；问题四和五从对称性上讨论并得到初步认识；单独一个指数函数不具有对称性，而底数互为倒数的指数函数图像关于y轴对称。上述问题讨论，符合学生从具体到抽象，从特殊到一般的讨论，为学生对底数a为一般时对指数函数性质的探究做好准备。

2 底数a为一般时指数函数性质的探究

师：对特殊函数，和，的图像和性质的分组探究，想想对一般指数函数该如何讨论？

生：分类讨论，分为和两种情况。

多媒体：几何画板演示和两种情况下的图像。（让学生举起右手，在空中描摹图像的走势，体会底数a的不同对图像的影响。）

师：指数函数图像要求对底数a分情况讨论，那么指数函数的性质呢？

生：也要分类讨论，分为和两种情况。

师：请小组合作，填写下表。[来源:学科网ZXXK]

【设计意图】用几何画板特别好的展示了底数a在和范围内变化图像的特征：分别在两段内图像具有一定相似性，而两段之间图像发生质变。这个认识与前面在学案上具体画图的体验相互映衬，这样效果较好。紧接着，由学生自主探究填写性质表格，因为有具体函数性质讨论的经验，所以这个表格的填写学生能够完成。表格的填写有助于学生内部的图像语言向符号或文字语言的转化，进一步体会数形结合的数学思想。

（三） 性质应用阶段

师：单调性是函数的重要性质，它反映了自变量变化时，函数值的变化规律。指数函数的单调性与谁有关？

生：底数a的范围，当时，指数函数在上是增函数；

当时，指数函数在上是减函数。

师：单调性能解决很多问题，比如：

多媒体：例2 比较下列各数的大小：

，   

生：学生思考，回答。教师板演，规范书写。再做相关练习。

【设计意图】学生会运用指数函数单调性解决，但教师得强化书写格式及一般性规律。

（四）课堂小结与作业

师：本节课我们学习了哪些知识？你还学会了哪些方法？

生：讨论，小结。

多媒体：课堂小结

（1）知识方面：掌握指数函数的定义、图象和性质

（2）从研究问题的思想方法上

①从实际问题到数学建模的方法

②由图象到性质，数形结合思想方法

③从特殊到一般的思维方式，体会研究函数的一般模式

④分类讨论，函数等思想方法

作业：课本

【设计意图】课堂小结应从数学知识和思想上让学生分层整理，逐渐学会小结反思，这样有利于增强学生的学习能力。作业有巩固学习，提高数学能力的效果。 

八 教学反思

本节课包括以下几个教学环节：归纳指数函数概念；研究指数函数的图形性质；图像性质的简单应用。运用多媒体和几何画板充分展示了函数概念学习的基本过程和思维方法。

在引入指数函数时，对两个问题情境从数学角度帮助学生理解，让学生体会出应用数学意识的重要性。其次，通过两个实际问题的引入得到指数函数，充分展现了数学建模的过程，容易引起学生的兴趣。

探究指数函数的图像，画图用几何画板展示图像，由特殊到一般，学生经历实践—猜想—验证，动态化的过程更好的帮助学生理解和记忆。特别是运用学案让学生在课堂上直接体验画图过程，有助于学生更加积极的参与课堂。

从图像看性质，从几何语言到代数语言的转化，这是函数学习的基本功。本节课特别重视这点，让学生进行着重的练习，一方面加强理解和记忆，另一方面强化数形结合思想。图像和性质的简单应用，先有函数的思想，再用性质解决问题，这点认识很重要。