课题：简单线性规划

教学目标：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

    1．知识目标：了解线性规划的意义，了解线性规划有关概念，初步学会解决简单的线性规划问题．

    2．能力目标：渗透数形结合的数学思想；加强学生自主探究、合作交流的意识．

    3．情感目标：让学生体验数学来源生活，服务于生活；感受探究问题的乐趣和解决问题的成就感，通过带领学生解决线性规划问题及对线性规划有关历史的简单回顾，感受数学的文化价值，并对学生进行爱国主义教育．

教学重点、难点：   

    重  点：探究解决简单线性规划问题的方法；

    难  点：借助线性规划目标函数的几何含义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z的最值之间的关系。

教学方式：

学生自主探究和教师引导相结合．

教学手段：

多媒体、几何画板等．

教学过程：

一.      设置情境，问题引入

课题导入：大家都爱看电视剧，不过讨厌插播的广告，但没有广告电视台就没有收益。当我们在津津有味的欣赏电视剧时，电视台台长却在思考一个这样的问题：如何安排节目的播映，才能使收视观众最多，从而获得最大效益。这个问题是数学中线性规划研究的问题，因此今天我们来学习简单线性规划。通过今天的学习，我们要了解什么是线性规划问题，以及如何解线性规划问题。

出示引例：某卫视应某企业之约播放两套连续剧。已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6分钟广告，而电视台每周只能为企业提供不多于320分钟的节目时间．其中，连续剧甲和乙每次播放时间、插播广告时间及收视观众如下表：

（1）用不等式组表示问题中的不等关系，并画出相应的平面区域；

（2）如果你是电视台的制片人，电视台每周应播映两套连续剧各多少次，才能使得收视观众最多？

 二．深入研究，探求解法

学生活动：

（1）    独立将实际问题转化为数学问题；

（2）   针对得到的“约束条件”（不等式组），做出相应的平面区域．

预案：学生会比较顺利的列出不等式组，不容易想到列出“目标函数”，教师作适当引导，让学生列出二元函数表达式．

   出示幻灯片

   （1）设电视台每周应播映连续剧甲x次，

连续剧乙y次，则：

即

平面区域如图所示

（2）设收视观众为z百万，则：z=3x＋y 

 提问：设出z=3x＋y后，我们将实际问题转化为一个怎样的数学问题？

       引导学生回答：转化为在平面区域内，求“二元函数” z=3x＋y的最大值问题。（新问题）

学生活动：

学生合作交流，进行自主探究：如何求z=3x＋y的最大值？

思考：（1）当z分别为0，3，-3时，z=3x＋y 表示什么图形？当z变化时，二元函数z=3x＋y 又表示什么图形？

（2）结合（1）的结论以及已学过的知识，你能求出z=3x＋y的最大值吗？

学生动手实践，用作图法找到点A．教师利用几何画板动态演示平移确定最优解的位置（动态演示1）。

示范详细解答：出示幻灯片

   解：设电视台每周应播映连续剧甲x次，

连续剧乙y次，收视观众为z百万．则：z=3x＋y

满足

即

平面区域如图所示

 令z=0,作出直线：3x＋y=0。    

平行移动直线，由图知，当直线经过平面区域中的点A时，z有最小值。

     解方程组，得点A的坐标为

    所以。

    答：电视台每周应播映连续剧甲2次，连续剧乙4次，才能使得收视观众最多，最多为1千万．

三.结合问题，归纳总结

   （出示幻灯片）

    结合实例，介绍线性规划的有关概念

  （1）目标函数（线性目标函数）；

  （2）约束条件（线性约束条件）；

  （3）线性规划问题；

  （4）可行解、可行域、最优解．

四．巩固知识，实际演练

出示幻灯片

出示练习1：

在约束条件 下，求目标函数z ＝ -2x＋y的最小值和最大值。

1、学生独立完成练习1，教师指导有困难的学生；学生回答，教师示例，规范解答。

2、引导学生进行归纳总结，将求解思路一般化：

方法：图解法（数形结合法）

步骤：

（1）作——作出可行域和直线：ax+by=0 ；

（2）找——平行移动直线，在可行域内确定最优解的位置；

（3）求——解有关方程组求出最优解，将最优解代入目标函数求最值。

出示变式：

在上述约束条件下求目标函数z ＝3x - y的最小值和最大值。

学生独立完成，并让学生口述作答结果，引导学生思考：对练习1及其变式你有什么发现？

引导学生讨论、并用几何画板做动态演示（动态演示2），得出以下结论，

对于目标函数z=ax+by

(1)b>0，则当直线向上平移时，z随之增大；当直线向下平移时，z随之减小。

(2)b<0，则当直线向上平移时，z随之减小；当直线向下平移时，z随之增大。

出示练习2：

在约束条件 下，则目标函数z ＝ x-2y（     ）

A 有最小值-3，最大值3；          B 有最小值-3，没有最大值；

C 有最大值3，没有最小值；        D 以上说法都不对。

学生独立完成，让学生口述作答结果，此题学生易错选A或B，要简要分析错因。

五．小结全课，概括升华

     学生活动： 请同学们相互讨论交流：

     1．本节课你学习到了哪些知识？

     2．本节课渗透了些什么数学思想方法？

六．布置作业，设疑铺垫

     （出示幻灯片）

     1．作业：习题3.4 A组 6   B组1

     2．思考题：

     已知：x、y 满足条件：

     求z = x＋3y 的最大值。

七．回顾历史，感受文化

    （出示幻灯片）

1.介绍“线性规划之父”—— “丹齐克”

（1）美国数学家，线性规划的奠基人；

（2）1974年丹齐克在总结前人工作的基础上，

   创立了线性规划；

（3）他发表过100多篇关于数学规划及其应用

   方面的论文，1963年出版专著《线性规划及其应用》。

2.“数学的战争”——  “海湾战争”

在海湾战争期间，美国军方将50多万名士兵，20亿加仑的燃料，1500万吨的武器装备和供应品（足够覆盖676个足球场），经过数千英里运到了海湾，只用了短短一个月的时间，效率惊人，这是因为他们利用了数学中的线性规划，从而保证了战争所需的部队及其武器装备、食品、衣被和药品，对促进战争的胜利，起了关键作用，所以有人称“海湾战争”是“数学的战争”。

对学生进行爱国主义教育：未来的战争更加是数学的战争。因此，我们作为一名学生，保家卫国，从学好数学开始。

板书设计：

标题：简单线性规划

1.线性规划的有关概念

2.简单线性规划问题的求解思路

方法：图解法（数形结合法）

步骤：作——找——求

3.结论：对于目标函数z=ax+by

(1)b>0，直线上移，z增大；直线下移，z减小。

(2)b<0，直线上移，z减小；直线下移，z增大。