第十六章  二次根式

16.1  二次根式

第1课时  二次根式的概念

学习目标：1.理解二次根式的概念；

2.掌握二次根式有意义的条件；

3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.

重点：理解二次根式的概念及有意义的条件.

难点：利用二次根式的有意义的条件及其非负性解题.

一、知识链接

1.什么叫作平方根？

2.什么叫作算术平方根？什么数有算术平方根？

二、新知预习

1. 用带根号的式子填空:

(1)如图①的海报为正方形，若面积为2m²,则边长为     m；若面积为S m²，则边长为______ m．

(2)如图②的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m²，则它的宽为_____m．

(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t²，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为_____．

2.自主归纳：

（1）二次根式的概念：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式. “____”称为二次根号.

（2）二次根式的双重非负性：二次根式的被开方数为________数,二次根式的值为_________数.

三、自学自测

1.下列各式中是二次根式的是（　　）

A.             B.        C.       D.

2.二次根式有意义的条件是_____________.   

四、我的疑惑

____________________________________________________________

一、要点探究

探究点1：二次根式的意义及有意义的条件

问题1  分别表示什么意义？

问题2   这些式子有什么共同特征？

要点归纳：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式. “”称为_______.

典例精析

例1  下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？

方法总结:判断二次根式是，抓住二次根式两个必备特征：①外貌特征：含有“”；②内在特征：被开方数a≥0.

例2 (教材P2例1变式题)当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

方法总结:要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.

【变式题】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

方法总结:被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.

针对训练

1.下列各式:一定是二次根式的个数有(    )

A.3个          B.4个          C.5个          D.6个

2.(1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________;

  (2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.

探究点2：二次根式的双重非负性

问题1：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？

问题2：二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？

要点归纳：二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式，我们知道：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a____0；

（2）表示一个数或式的算术平方根，可知_____0.

典例精析

例3   若，求a-b+c的值.

方法总结:多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.

例4  已知y=,求3x+2y的算术平方根.

【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长．

方法总结:若，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.

针对训练

已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根．

二、课堂小结

1.下列式子中，不属于二次根式的是（    ）

2.式子有意义的条件是      （    ）

A.x＞2       B.x≥2     C.x＜2         D.x≤2

3.当x=____时，二次根式取最小值，其最小值为______．

4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

5.(1)若二次根式有意义，求m的取值范围．

(2)无论x取任何实数，代数式都有意义，求m的取值范围．

6.若x，y是实数，且y＜ ,求的值.

拓展提升

7.先阅读，后回答问题：

当x为何值时，有意义？

解：由题意得x(x-1)≥0，由乘法法则得

解得x≥1 或x≤0.即当x≥1 或x≤0时，有意义.

体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，有意义？