§2.3　函数的奇偶性与周期性

主备人：董太癸    课时安排:2课时

复习目标：1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.

o2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.

3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.

知识梳理

1.奇函数、偶函数的概念

图像关于原点对称的函数叫作奇函数.  图像关于y轴对称的函数叫作偶函数.

2.判断函数的奇偶性

判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是

(1)考察定义域是否关于原点对称.

(2)考察表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：

若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；  若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；

若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；

若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数.

3.周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期.

概念方法微思考

1.如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)的奇偶性有什么结论？

提示　在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.

2.函数奇偶性常见结论

（1）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(|x|)

（2）奇函数在俩个对称区间具有相同的单调性，偶函数在俩个对称区间具有相反的单调性

3.已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？

(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0).    (2)f(x＋a)＝f(x)(1)(a≠0).    (3)f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b).

提示　(1)T＝2|a|　(2)T＝2|a|　(3)T＝|a－b|

自学检测：

题组一　思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数y＝x²，x∈(0，＋∞)是偶函数.(　×　)

(2)偶函数的图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点.(　×　)

(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称.(　√　)

题组二　教材改编

2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝        .

答案　－2

3.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝x，0≤x<1，(－4x2＋2，－1≤x<0，)则f 2(3)＝      .    答案　1

4.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)<0的解集为        .         答案　(－2,0)∪(2,5]

题组三　易错自纠

5.已知f(x)＝ax²＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)

A.－3(1)      B.3(1)       C.2(1)       D.－2(1)       答案　B

6.偶函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________. 答案　3

例题讲练：

题型一　函数奇偶性的判断

例1　判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝＋；  (2)f(x)＝|x－2|－2(ln(1－x2))；    (3)f(x)＝－x2＋x，x>0.(x2＋x，x<0，)

思维升华　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系.

在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立.

跟踪训练1　(1)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是(　　)

A.f(x)＝x＋sin 2x    B.f(x)＝x²－cos x    C.f(x)＝3^x－3x(1)   D.f(x)＝x²＋tan x  答案　D

(2)函数f(x)＝lg|sin x|是(　　)

A.最小正周期为π的奇函数     B.最小正周期为2π的奇函数

C.最小正周期为π的偶函数     D.最小正周期为2π的偶函数    答案　C

题型二　函数的周期性及其应用

1.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x²，则f(7)＝________.

答案　－2

2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－，且对任意的x都有f(x＋2)＝－f(x)(1)，则f(2 020)＝        .       答案　－2－

3.(2017·山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6^－x，则f(919)＝        .       答案　6

4.设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：

①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2^x－1，则f 2(1)＋f(1)＋f 2(3)＋f(2)＋f 2(5)＝        .     答案　－1

思维升华　利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.

题型三　函数性质的综合应用

命题点1　求函数值或函数解析式

例2　(1)设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f(x)＝ax－1，0<x≤2，(ax＋b，－2≤x<0，)则f(2 021)＝        .          答案　－2(1)

(2)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e^－x－1－x，则f(x)＝        .

答案　ex－1＋x，x>0(e－x－1－x，x≤0，)

命题点2　求参数问题

例3　(1)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝          .    答案　1

(2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝，0≤x≤1，(bx＋2)其中a，b∈R.若f 2(1) ＝f 2(3)，则a＋3b的值为        .     答案　－10

(3)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝－x²＋ax－1－a，若函数f(x)为R上的减函数，则a的取值范围是            .    答案　[－1,0]

命题点3　利用函数的性质解不等式

例4　(1)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增加的，若f(ln x)<f(2)，则x的取值范围是(　　)   A.(0，e²)    B.(e^－2，＋∞)   C.(e²，＋∞)   D.(e^－2，e²)   答案　D

(2)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－1＋x2(1)，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围为              .

答案　，1(1)

思维升华　解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解.

跟踪训练2　(1)定义在R上的奇函数f(x)满足f 2(3)＝f(x)，当x∈2(1)时，f(x)＝(1－x)，则f(x)在区间2(3)内是(　　)       答案　D

A.减函数且f(x)>0   B.减函数且f(x)<0    C.增函数且f(x)>0    D.增函数且f(x)<0

(2)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f 2(5)＝        .

答案　－2(1)

(3)已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝g(x)，x>0，(x3，x≤0，)若f(6－x²)>f(x)，则实数x的取值范围是        .     答案　(－3,2)

函数的性质

函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.

一、函数性质的判断

例1　(1)(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　)

A.f(x)在(0,2)上是增加的     B.f(x)在(0,2)上是减少的

C.y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称   D.y＝f(x)的图像关于点(1,0)对称    答案　C

(2)下列函数：

①y＝sin³x＋3sin x;    ②y＝ex＋1(1)－2(1)；  ③y＝lg 1＋x(1－x)；   ④y＝－x－1，x>0.(－x＋1，x≤0，)

其中是奇函数且在(0,1)上是减函数的是________.   答案　②③

(3)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x).现有以下三个命题：

①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图像关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数.

其中正确命题的序号是________.         答案　①②③

二、函数性质的综合应用

例2　(1)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于(　　)

A.－50     B.0      C.2     D.50           答案　C

(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)

A.f(－25)<f(11)<f(80)   B.f(80)<f(11)<f(－25)   C.f(11)<f(80)<f(－25)  D.f(－25)<f(80)<f(11)

答案　D

(3)设偶函数f(x)满足f(x)＝2^x－4(x≥0)，则满足f(a－2)>0的实数a的取值范围为__________.

答案　{a|a>4或a<0}

(4).已知函数y＝f(x)是R上的偶函数,对于任意的,都有.f(x+6)=fx)+f(3) 成立,当x₁，x₂∈[0,3]且x₁x₂时，x1－x2(f(x1)－f(x2))>0.给出下列命题:①直线x=-6是函数y＝f(x)的图像的一条对称轴②函数y＝f(x)在[-9,-6]上是增加的③函数y＝f(x)在[-9,9]上有四个零点

其中所有正确命题的序号是________.①③

课堂总结：（学生交流与教师整理同时进行）

作业布置：《课时作业》 p40-41             （限时40分钟）