高一数学必修四第二章第三节从速度的倍数到数乘向量的导学案

高一（   ）班     姓名：        学号：         2019年   月    日

【教学目标】

1.掌握向量数乘运算，理解其几何意义，理解向量共线定理。熟练运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题。

2.理解实数与向量的积（强调：1．“模”与“方向”两点) ，三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律），在此基础上得到数乘运算的几何意义。

3.理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义。

4.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量。

5.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题。

学习重点：1.掌握实数与向量的积的定义、运算律,理解向量共线定理。2.平面向量的基本定理。

学习难点：1.向量共线定理的探究及其应用。2.会应用平面向量基本定理解决平面向量的综合问题。

学习过程：

一、探索新知

1．向量数乘运算

实数λ与向量a的积是一个______，这种运算叫做向量的_____，记作___，其长度与方向规定如下：

(1)|λa|＝_______.

(2)λa (a≠0)的方向，当_____时，与a 方向相同；当_____时，与a 方向相同。

特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝__或λ0＝__.

2．向量数乘的运算律

(1)λ(μa)＝_______.

(2)(λ＋μ)a＝________.

(3)λ(a＋b)＝________.

特别地，有(－λ)a＝_______＝_______；λ(a－b)＝__________.

3．共线向量定理

(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝____，则向量b与非零向量a共线．

(2)性质定理：若向量b与非零向量a_____，则存在一个实数λ，使得b＝λa.

4．向量的线性运算

向量的___、____、____运算统称为向量的线性运算，对任意向量a、b，以及任意实数λ、μ₁、μ₂，恒有λ(μ₁a±μ₂b)＝_______________.

5.平面向量基本定理

(1)定理：如果e₁，e₂是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的_____向量a，_________实数，使a＝_____________.

(2)基底：把_______的向量e₁，e₂叫做表示这一平面内_______向量的一组基底．

二、典例分析

探究1：向量数乘的定义

例1  已知a、b为非零向量，试判断下列各命题的对错，并说明理由．

(1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；

(2)－2a的方向与3a的方向相反，且－2a的模是3a模的3(2)倍；

(3)－2a与2a是一对相反向量；

(4)a－b与－(b－a)是一对相反向量．

探究2：向量的线性运算

例2  计算下列各式：

(1)4(a＋b)－3(a－b)；

(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)；

(3)5(2)(a－b)－3(1)(2a＋4b)＋15(2)(2a＋13b)．

变式1  若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的结果为(　　)

A．－a B．－4b

C．c D．a－b

探究3：向量共线的判定及应用

例3  已知两个非零向量a与b不共线，如果→(AB)＝a＋b，→(BC)＝2a＋8b，→(CD)＝2a－4b，求证：A、B、D三点共线．

变式2  若a、b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同，则实数t为何值时，a、tb、3(1)(a＋b)三向量的终点在同一直线上？

探究4：对向量基底的理解

例4  如果e₁，e₂是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．

①λe₁＋μe₂(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；

②对于平面α内任一向量a，使a＝λe₁＋μe₂的实数对(λ，μ)有无穷多个；

③若向量λ₁e₁＋μ₁e₂与λ₂e₁＋μ₂e₂共线，则有且只有一个实数λ，使得λ₁e₁＋μ₁e₂＝λ(λ₂e₁＋μ₂e₂)；

④若存在实数λ，μ使得λe₁＋μe₂＝0，则λ＝μ＝0.

探究5：用基底表示平面向量

例5  设D为△ABC所在平面内一点，→(BC)＝3→(CD)，则(　　)

A.→(AD)＝－3(1)→(AB)＋3(4)→(AC)  B.→(AD)＝3(1)→(AB)－3(4)→(AC)

C.→(AD)＝3(4)→(AB)＋3(1)→(AC)    D.→(AD)＝3(4)→(AB)－3(1)→(AC)

变式3  如图，△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设→(BA)＝a，→(BC)＝c.

(1)用a，c表示向量→(AE)；

(2)若点F在AC上，且→(BF)＝5(1)a＋5(4)c，求AF∶CF               

三、自主小测 

1．下列各式中不表示向量的是(　　)

A．0·a B．a＋3b[来源:Z+xx+k.Com]

C．|3a|   D.x－y(1)e(x，y∈R，且x≠y)

2．已知向量a、b，且→(AB)＝a＋2b，→(BC)＝－5a＋6b，→(CD)＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)

A．B、C、D B．A、B、C

C．A、B、D D．A、C、D

3．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，→(AB)＋→(AD)＝λ→(AO)，则λ＝________.

4．若→(AC)＝2→(CB)，→(AB)＝λ→(BC)，则λ＝________.

5．如图所示，已知→(AP)＝3(4)→(AB)，用→(OA)，→(OB)表示→(OP).

6．设e₁，e₂是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　　)

A．e₁＋e₂和e₁－e₂ B．3e₁－4e₂和6e₁－8e₂

C．e₁＋2e₂和2e₁＋e₂ D．e₁和e₁＋e₂

7.如图，已知→(AB)＝a，→(AC)＝b，→(BD)＝3→(DC)，用a，b表示→(AD)，则→(AD)等于(　　)

A．a＋4(3)b      B.4(1)a＋4(3)b    C.4(1)a＋4(1)b     D.4(3)a＋4(1)b                

8．如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若→(AC)＝λ→(AE)＋μ→(AF)，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.

四、能力拓展

9．设M、N、P是△ABC三边上的点，它们使→(BM)＝3(1)→(BC)，→(CN)＝3(1)→(CA)，→(AP)＝3(1)→(AB)，若→(AB)＝a，→(AC)＝b，试用a，b将→(MN)、→(NP)、→(PM)表示出来．

五、纠错、归纳、整理

六、作业布置

答案：

例1   对 对 对 错

例2   (1)a＋7b  (2)a－7b＋6c  (3)0

变式    A

例3   证明　因为→(BD)＝→(BC)＋→(CD)＝(2a＋8b)＋(2a－4b)＝4a＋4b＝4(a＋b)＝4→(AB)，

所以根据平行向量基本定理，→(BD)与→(AB)共线．

又因为→(BD)与→(AB)有公共点B，所以A、B、D三点共线．

变式1   由题设易知，存在唯一实数λ，使a－tb＝λ(a＋b)(1)，化简，得λ－1(2)a＝－t(λ)b.

∵a与b不共线，

∴－t＝0.(λ)解得.(1)故当t＝2(1)时，三向量的终点共线．

例4    ②③

例5    A

例6 (1)∵→(AC)＝→(BC)－→(BA)＝c－a，∴→(AD)＝2(1)→(AC)＝2(1)(c－a)，∴→(AE)＝2(1)(→(AB)＋→(AD))＝2(1)→(AB)＋2(1)→(AD)＝－2(1)a＋4(1)(c－a)＝4(1)c－4(3)a

(2)设→(AF)＝λ→(AC)，∴→(BF)＝→(BA)＋→(AF)＝→(BA)＋λ→(AC)＝a＋λ(c－a)＝(1－λ)a＋λc.又→(BF)＝5(1)a＋5(4)c，∴λ＝5(4)，

∴→(AF)＝5(4)→(AC)，∴AF∶CF＝4∶1.

自主小测：

1.C    2.C    3.2     4.-3    5.－3(1)→(OA)＋3(4)→(OB)     6.B    7.B    8.3(4)

四、能力拓展

9.解　如图，→(MN)＝→(CN)－→(CM)＝3(1)→(CA)－3(2)→(CB)＝－3(1)→(AC)－3(2)(→(AB)－→(AC))＝3(1)→(AC)－3(2)→(AB)＝3(1)b－3(2)a.

同理可得→(NP)＝3(1)a－3(2)b.    →(PM)＝－→(MP)＝－(→(MN)＋→(NP))＝3(1)a＋3(1)b.