教学设计

24.3正多边形和圆(第1课时)

兴国县第七中学 凌兴民

【内容和内容解析】

1.内容

正多边形的有关概念及计算．

2.内容解析

本节内容选自新课标人教版九年级上册数学教材第24章第3节，本节教学分两课时，第一课时主要探索正多边形与圆的关系，理解正多边形的有关概念，并能熟练进行一些特殊的正多边形有关计算，第二课时主要是探索正多边形的画法.

正多边形是生活中常见的图形，因此正多边形的有关计算在生活中经常用到．正多边形和圆关系密切，只要把圆分成相等的一些弧，就可以得到这个圆的内接正多边形．正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念与正多边形的外接圆关系密切，这些概念是进行与正多边形有关计算的基础．在探究正多边形和圆的关系时，学生经历观察、猜想、推理、迁移等过程，充分感受知识的形成过程，体会由特殊到一般的思想.例题中的这一实际问题，需转化为正多边形计算问题，再将正多边形的问题转化为等腰三角形和直角三角形的问题.因此本节内容无论在知识体系和实际应用上，还是对学生数学观念的培养上，都有着十分重要的作用．

基于以上分析，本课时的教学重点是：探索正多边形与圆的关系，掌握正多边形的有关概念，熟练进行特殊正多边形的有关计算．

【目标和目标解析】

1.目标

(1)理解正多边形与圆的关系，掌握正多边形的有关概念，熟练进行一些特殊正多边形的有关计算．

(2)通过观察、猜想、推理、迁移，发展学生合情推理能力和演绎推理能力，让学生体会由特殊到一般及转化的思想.

(3)激发学生的学习热情，调动学生的学习积极性，培养学生科学严谨的治学态度和应用意识，提高学生的审美意识，感受中国文化的博大精深，在数学活动中获取成功的体验．

2.目标解析

达成目标(1)的标志是：理解正多边形与圆的关系，理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念，能熟练进行特殊正多边形的有关计算，并能解决一些简单的实际问题．

达成目标(2)的标志是：对于正多边形的问题能进行简单的推理，会添加适当的辅助线，将正多边形的问题转化为三角形的问题．

达成目标(3)的标志是：学生能积极参与数学活动，能够独立思考、自主探究．

【教学问题诊断分析】

学生在前面学习了正多边形的概念，知道各边相等、各内角相等的多边形是正多边形，但涉及到正多边形的严格证明，学生会感觉到比较困难.学生在本册中学习了圆的有关性质，理解了圆中弧与弦，弧与圆周角的关系，但有部分学生不知道将正多边形的边、角转化到圆中的弦和圆周角来解决．学生之前遇到的数学图形以三角形、四边形为主，图形较为简单，在正多边形中，随着边数的增加，图形变得复杂，学生较难从复杂图形中分离出简单、熟悉的图形.

基于以上分析，本课时的教学难点是：探索正多边形与圆的关系及将正多边形的问题转化为三角形的问题．

【教学支持条件分析】

学生在前面已经学习了正多边形的概念和圆的有关性质，并初步具有了条理地思考与表达的能力，为本节课的学习打下了良好的基础.在证明圆内接正五边形时，学生观察正五边形的边，就是圆的弦，从而用圆的弧与弦关系得到各边相等，正五边形的内角，就是圆中的圆周角，从而利用弧与圆周角的关系得到各角相等.再推广到正n边形，符合学生认知规律和特点，降低了问题的难度.在进行正多边形的有关计算时，转化的关键都是添加适当辅助线，将正多边形的问题转化为三角形的问题．纵观整节课，每个环节的设计与展开，都是以“问题研究和学生活动”为中心，让学生处于主动学习的状态，使课堂充满新鲜感、愉快感、成功感，在探索中形成自己的观点，在活动中培养学生的归纳与推理的能力.

【教学过程设计】

一、设置情境

大家知道蜜蜂是以勤劳和团结著称，蜂巢是蜜蜂居住与繁衍的场所.你知道蜂巢的横截面是由一些什么图形严丝合缝构成的吗？

从数学的角度来看，蜜蜂为什么选择正六边形，而不是其它图形？同学们，你知道这里的奥秘吗？

师生活动：教师设问引导，学生进行观察、思考.

设计意图：通过这一活动，激发学生学习新知识的兴趣，让学生形成探究新知的心理需要，调动学生学习的积极性．

二、温故知新

什么叫正多边形？矩形是正多边形吗？菱形是正多边形吗？正方形呢？

师生活动：教师设问，学生回答.

设计意图：目的让学生回顾正多边形的定义，并让学生明白判定一个正多边形的条件有两个：各边相等、各角相等，缺一不可.

师：同学们，你会画一个正多边形吗？比如正五边形.

生：学生经过思考，发现很难直接画出能同时满足它的各边相等、各个角也相等的正五边形.

有部分同学提出可以借助圆来画正五边形.

设计意图：这一环节，鼓励学生积极思考，激发学生的求知欲望，发挥学生丰富的创造力.

三、探究新知

问题1 已知：如图，点A，B，C，D，E是⊙O的五等分点，依次连接AB，BC，CD，DE，EA.

求证：五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.

师生活动：教师引导学生从正多边形的定义入手证明，学生观察、分析能够得出5段相等的弧所对的弦也是相等的，证明五边形的各边相等.

思考1：正五边形的角在圆中是什么角？

学生通过观察发现各个内角都圆周角.

思考2：每一个圆周角所对的弧有什么特点？

学生分析、讨论发现每一个圆周角所对的弧都是三段五等分的弧，证明五边形的各内角相等，从而证明圆内接五边形是正五边形.教师利用课件展示证明过程（略）

推广：把圆分成n      个等份，依次连接各个分点，所得的多边形是圆内接正n边形吗？

设计意图：让学生通过观察、猜想、推理、迁移，以圆内接正五边形为例，推广到正n边形的情形，从而得到正多边形与圆的关系.让学生充分经历知识的形成过程，体会由特殊到一般的这种研究问题的方法，培养学生科学严谨的治学态度.

四、概念学习

教师演示课件，图文并茂地给出正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念.

问题2计算一

1. 正n边形的每个中心角等于          ；正n边形的内角和等于           ，每个内角等于            ；正n边形的外角和等于       ，每个外角等于          ；

2. 正八边形的每个中心角等于          ，每个内角等于               ,每个外角等于           .

问题2 计算二

1.如图1，已知一个正△ABC的半径为2，则它的边长为        . 

（变式）已知一个正三角形ABC的半径为R，则它的边长和边心距分别为               .                                              

2.如图2，已知一个正方形ABCD的边心距为2，则它的半径为       .

3.如图3，已知一个正六边ABCDEF的边长为2，则它的边心距为       .

图1                     图2                       图3                                                                    

师生活动：学生应用所学概念，把已知和要求的线段补充完整（图2、3），教师引导学生解题后要进行归纳总结：1.由正n边形的边数，可以求出中心角的度数，与它其它条件无关；2.解题的关键是抓住半径、边心距、边长的一半三者的数量关系.

设计意图：学生通过解决这三个特殊的正多边形计算问题，进一步明确正多边形的有关概念，能熟练地求出正多边形的中心角，并利用“半径、边心距、边长的一半”三者的数量关系进行解题，并且让学生明白正多边形中的半径、边心距、边长这三个量，只要已知一个量，就可以求出另外两个量.

五、学以致用

问题3有一个亭子，它的地基是半径为 4 m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．

引导学生把实际问题转化成数学问题，结合图形，明确哪一部分是地基，知道要计算是哪一部分.教师演示地基的数学图形，引导学生进行分析.

思考1：欲求地基的周长，需要先求出正六边形的什么？

学生分析得出先求正六边形的边长.

思考2:欲求地基的面积，有正六边形的面积公式吗？直接不能求的话，我们还可以如何求？

学生思考、分析后发现正六边形的半径将正六边形分成六个全等的等腰三角形，然后转化为求三角形的面积，进而作出边心距.

解题后，引导学生进行题后反思、归纳总结，提升出数学思想和方法.

设计意图：在解决教科书例题时，让学生会将实际问题转化为数学问题，将正六边形的问题转化为等腰三角形和直角三角形的问题，并将正六边形的规律推广到正多边形，进一步熟练掌握半径、边心距、边长这三者的关系，让学生充分体会由复杂图形转到简单图形、将陌生问题化归为熟悉问题的转化过程.

六、综合运用

问题4  用24米长的篱笆在空地上围成一个绿化场地，现有四种方案：正三角形、正方形、正六边形、圆.哪种场地的面积最大？

师生活动：学生有了上述活动和解题经验后，很快形成解题策略，得出答案.教师注意引导学生进行猜想，学生容易发现：当周长一定时，随着边数的增加，正多边形的面积随之增加，当正多边形变为圆时，面积最大.

设计意图：进一步熟练掌握正多边形的有关计算，最后观察计算结果，得出“当周长一定时，随着边数的增加，正多边形的面积随之增加，当正多边形变为圆时，面积最大”这一结论，为解决情景问题打下基础.

七、问题解决

再次回到情景问题，让学生思考、分析、讨论后，回答蜜蜂为什么选择正六边形？

思考：既然周长（材料）一定时，圆的面积最大，蜜蜂为什么不选择圆形？

 学生深思后发现，若选择圆形的话，蜂巢将会出现缝隙，实际上由前面的镶嵌知识可知，若只选择一种正多边形进行镶嵌，只能选择正三角形、正方形、正六边形.所以，蜜蜂选择正六边形，是最好和最节约的筑巢方式.

八、课堂小结

1.本节课，你印象最深刻的是什么？

2.本节课，你最感兴趣的是什么？

3.本节课，你还有什么疑惑？

师生活动：通过引导学生民主小结，围绕三个问题，师生以谈话交流的形式，共同总结本节课的学习收获.

设计意图：通过小结和学生反思，让学生进一步梳理本节课知识，培养学生的学习能力，有利于学生提升数学思想方法，积累数学活动的经验．同时通过引出“已知正五边形的半径为2，是否可以求出它的边长、边心距、周长、面积呢？”这一问题，激疑设悬，让学生课外主动地去探索、探究，课断而思不断，言尽而意不尽，同时，也能为学生以后的学习作好铺垫.

九、布置作业

一、必做题：教科书习题 24.3第 4，6题．

二、选做题：

1.教科书习题 24.3 第 8 题；                   

2.如图4，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20,则正八边形的面积为       .

3.如图5，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点为格点.已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积为       .

设计意图：考虑到了教学的目的性、知识的顺序性、学生的可接受性，布置上述作业，一方面巩固新课内容，又供学有余力的学生课后继续研究，体现了面向全体，因材施教，分层教学的原则．

十、板书设计

24.3正多边形和圆

一、正多边形的定义                            问题2 计算二

二、正多边形的有关概念                        1. ……

(1)中心                                          ……

(2)半径R　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　 ……

(3)中心角                                      2. ……

(4)边心距r