22．3　实际问题与二次函数

第1课时　面积问题

教学目标

1．能根据实际问题列出函数关系式．

2．使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围．

3．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生应用数学的意识．

教学重难点

重点：用函数知识解决面积最大问题．

难点：建立二次函数模型．

教学过程

一、教师导学

给你长8 cm的铝合金条，问：

①你能用它制成一矩形窗框吗？

②怎样设计，窗框的透光面积最大？

③如何验证？

这就是我们下面要讨论的问题．

二、合作探究

我们先看下面一道例题．

【例】用6 m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？

分析：先思考解决以下问题：

(1)若设做成的窗框的宽为x m，则长为多少m？　　2(（6－3x）) m

(2)根据实际情况，x有没有限制？若有限制，请指出它的取值范围，并说明理由．让学生讨论、交流，达成共识：根据实际情况，应有x>0，且2(6－3x)>0，即解不等式组>0(6－2x)，解这个不等式组，得到不等式组的解集为0<x<2，所以x的取值范围应该是0<x<2.

(3)你能说出面积y与x的函数关系式吗？

y＝x·2(6－3x)，即y＝－2(3)x²＋3x

(4)求当x取何值时，窗框的透光面积最大？最大面积为多少？

y＝－2(3)(x－1)²＝2(3)即当x＝1时，y最大值＝2(3)

从在上面的例题中我们可以看出，要求最大透光面积，首先要求出面积与边之间的函数关系式，根据实际情况得出自变量的取值范围，利用二次函数的性质在取值范围内得出最大值．

三、巩固练习

星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．

(1)若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围．

(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大？并求出这个最大值．

(3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试

结合函数图象，直接写出x的取值范围．

解：(1)y＝30－2x(6≤x<15)．

(2)设矩形苗圃园的面积为S，

则S＝xy＝x(30－2x)＝－2x²＋30x，

∴S＝－2(x－7.5)²＋112.5.

由(1)知6≤x<15，

∴当x＝7.5时，S_最大值＝112.5，

即当矩形苗圃园垂直于墙的边长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为112.5平方米．

(3)6≤x≤11.

四、总结提升

本节课应掌握：

分析问题中的数量关系，建立二次函数模型，注意实际问题中自变量的取值范围以及二次函数性质的实际应用．

五、布置作业

教材P₅₂　习题22.3　4、5、6、7.

第2课时　销售利润问题

教学目标

1．能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题和解决问题的能力和应用数学的意识．

2．经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．

3．通过学习和合作交流，了解数学带给人们的价值及美感．

教学重难点

重点：用函数知识解决销售利润问题

难点：建立二次函数模型

教学过程

一、教师导入

商场的服装，经常出现涨价、降价，这其中有何奥妙呢？商家的利润是否随涨价而增大，随降价而减小？要想使商家获得最大利润，该如何定价？这些就是我们本节课要解决的问题．

二、合作探究

某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？

分析：可设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，可先根据题意列出y与x之间的函数关系式，此时应特别注意x的取值范围，然后再在自变量的取值范围内利用二次函数的性质求出最大值．

解：设每件商品降价x元(0≤x≤2)，该商品每天的利润为y元．

商品每天的利润y与x的函数关系式是：

y＝(10－x－8)(100＋100x)

即y＝－100x²＋100x＋200

配方得y＝－100(x－2(1))²＋225

因为x＝2(1)时，满足0≤x≤2.

所以当x＝2(1)时，函数取得最大值，最大值y＝225.

所以将这种商品的售价降低0.5元时，能使销售利润最大．

从上面的例题中，我们可以看出，解有关销售利润的问题首先还是要根据题意列出二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解．

三、巩固练习

某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：

信息1：销售A种产品所获利润y(万元)与所售产品x(吨)之间存在二次函数关系y＝ax²＋bx.

当x＝1时，y＝1.4；当x＝3时，y＝3.6.

信息2：销售B种产品所获利润y(万元)与所售产品x(吨)之间存在正比例函数关系y＝0.3x.

根据以上信息，解答下列问题：

(1)求二次函数解析式；

(2)该公司准备购进A，B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？

解：(1)由题意，得9a＋3b＝3.6.(a＋b＝1.4，)解得b＝1.5.(a＝－0.1，)∴二次函数的解析式为：y＝－0.1x²＋1.5x.

(2)设A种产品购进x吨，则B种产品购进(10－

x)吨，销售这两种产品所获得的利润之和为W万元．则W＝(－0.1x²＋1.5x)＋0.3(10－x)＝－0.1x²＋1.2x＋3＝－0.1(x－6)²＋6.6.

∴x＝6时，W有最大值6.6.∴10－6＝4(吨)．

答：A，B两种产品的进货量分别为6吨和4吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是6.6万元．

四、总结提升

本节课应掌握：

根据题意列出二次函数关系式，注意自变量的取值范围以及二次函数性质的实际应用．

五、布置作业

教材P₅₁　习题22.3　2、8

第3课时　拱桥问题与二次函数

教学目标

1．经历探索实际问题中两个变量的变化过程，使学生理解用抛物线知识解决最值问题的思路．

2．初步学会运用抛物线知识分析和解决实际问题．

3．在解决实际问题过程中使学生体验数学建模思想，培养学生分析问题、解决实际问题的能力．

教学重难点

用抛物线知识解决实际问题．

教学过程与方法

1．情境引入(2分钟)

多媒体放映现实生活中形似抛物线形的实物，如跳绳、掷铅球、水池喷射出的水花、拱桥，引出问题：水面宽度3米时，水面离拱顶多高？水面宽度是4米时呢？拱顶离水面2米时，水面宽度是多少？引入新课．

2．探索新知(8分钟)

(1)学生自学：教材P₅₁探究3

(2)交流思想：欲解决这类问题应该怎么办？

3．拓展性探究(20分钟)

【例】善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好．某一天小迪有20分钟时间可用于学习．假设小迪用于解题的时间x(单位：分钟)与学习收益量y的关系如图(1)所示，用于回顾反思的时间x(单位：分钟)与学习收益量y的关系如图(2)所示(其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点)，且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．

(1)求小迪解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式；

(2)求小迪回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x之间的函数关系式；

(3)问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20分钟的学习收益总量最大？

解：(1)由图(1)设y＝kx.当x＝1时，y＝2，解得k＝2，∴y＝2x(0≤x≤20)．

(2)由图(2)知当0≤x≤4时，设y＝a(x－4)²＋16.当x＝0时，y＝0，∴0＝16a＋16，∴a＝－1.∴y＝－(x－4)²＋16，即y＝－x²＋8x，当4≤x≤10时，y＝16.因此y＝16（4≤x≤10）.(－x2＋8x（0≤x≤4），)

(3)设小迪用于回顾反思的时间为x(0≤x≤10)分钟，学习收益总量为y，则他用于解题的时间为(20－x)分钟．当0≤x≤4时，y＝－x²＋8x＋2×(20－x)＝－x²＋6x＋40＝－(x－3)²＋49，x＝3时，y_最大＝49.当4≤x≤20时，y＝16＋2(20－x)＝56－2x.y随x的增大而减小，因此当x＝4时，y_最大＝48，综上所述，当x＝3时，y_最大＝49，此时20－x＝17，即小迪用17分钟解题，3分钟用于反思，学习收益量最大．

4．小结升华(3分钟)

解答抛物线形实际问题的一般思路：

(1)把实际问题中的已知条件转化为数学问题．

(2)建立适当的平面直角坐标系，把已知条件转化为坐标系中点的坐标．

(3)求抛物线的解析式．

(4)利用抛物线解析式结合图象解决实际问题．

5．独立作业(7分钟)

如图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度AB＝20m，顶点M距水面6m(即MO＝6m)，小孔顶点N距水面4.5m(即NC＝4.5m)．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF.

解：EF＝10米．