作业标题:研修成果 作业周期 : 2019-04-19 — 2019-07-10
发布范围:全员
作业要求: 研修成果(题目自拟) 运用所学课程理念尝试去上几节改变自己教学习惯的课,然后把最得意的一节课形成文稿分享出来; 撰写要求层次清楚,观点明确,重点突出,条理清晰,措辞严谨。 1. 重点围绕“ 教学习惯改变”,提交教学设计, 2. 字数要求600字以上; 3. 必须原创,如出现雷同,视为无效。
发布者:培训管理专员
提交者:学员严由发 所属单位:寻乌县江西省寻乌中学 提交时间: 2019-07-08 16:27:31 浏览数( 0 ) 【举报】
第2课时 正弦函数的性质
[核心必知]
正弦函数y=sin x的性质
函数 | y=sin x |
定义域 | R |
值域 | [-1,1] |
奇偶性 | 奇函数 |
周期 | T=2π |
单调性 | 在(k∈Z)上是增加的; 在(k∈Z)上是减少的 |
最值 | 当x=2kπ+(k∈Z)时,ymax=1; 当x=2kπ+(k∈Z)时,ymin=-1 |
[问题思考]
1.“正弦函数在第一象限是增加的”这一说法正确吗?为什么?
提示:不正确.事实上,“第一象限”是由所有的区间(k∈Z)构成的,在这样若干个区间所构成的集合的并集内,显然函数值不是随着x值的增加而增加的.
2.正弦曲线有对称轴和对称中心吗?分别有多少个?
提示:正弦函数曲线既是轴对称图形,又是中心对称图形.函数y=sin x,(x∈R)的对称轴是x=kπ+(k∈Z),有无数条;对称中心是点(kπ,0)(k∈Z),有无穷多个.
讲一讲
1.求函数y=lg的定义域.
[尝试解答] 要使函数y=lg有意义,
则sin x->0,即sin x>.
作出正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图像.
如图,由图像可以得到满足条件的x的集合为
,k∈Z.
∴函数y=lg的定义域为
,k∈Z.
1.求由三角函数参与构成的函数定义域,对于自变量必须满足:
(1)使三角函数有意义.
(2)分式形式的分母不等于零.
(3)偶次根式的被开方数不小于零.
(4)对数的真数大于0.
2.求三角函数定义域时,常常归结为解三角不等式(组),这时可利用三角函数的图像直观地求得解集.
练一练
1.求函数y=的定义域.
解:要使函数有意义,必须使-3sin x≥0.即sin x≤0,
∴(2k-1)π≤x≤2kπ,k∈Z.
∴函数的定义域为[(2k-1)π,2kπ],k∈Z.
讲一讲
2.求下列函数的值域.
(1)y=2-sin x;
(2)y=lg sin x;
(3)y=sin2x-4sin x+5,x∈.
[尝试解答] (1)正弦函数y=sin x的值域为[-1,1].所以函数y=2-sin x的值域为[1,3].
(2)∵0<sin x≤1,
∴y=lg sin x≤0.
∴函数y=lgsin x的值域为(-∞,0].
(3)令t=sin x,由x∈,得0≤t≤1.
y=t2-4t+5=(t-2)2+1.
当t=0,即sin x=0时,最大值为5,
当t=1,即sin x=1时,最小值为2.
∴该函数的值域是[2,5].
1.对于形如f(x)=asin x+b的函数的值域可以利用正弦函数图像或有界性直接解决.
2.对于形如f(x)=Asin2x+Bsin x+C的函数,可用配方法求其值域,注意当x有具体限制范围时,需要考虑sin x的范围.
练一练
2. 求函数y=a-2sin x(a∈R)取得最大值、最小值时x的集合.
解:当sin x=1时,y最小,此时x=+2kπ,k∈Z,
当sin x=-1时,y最大,此时x=-+2kπ,k∈Z,
所以,函数y=a-2sin x取得最大值时x的集合为,
取得最小值时x的集合为.
讲一讲
3.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=xsin(π+x);
(2)f(x)=lg(1-sin x)-lg(1+sin x).
[尝试解答] (1)函数的定义域为R,关于原点对称.
f(x)=xsin(π+x)=-xsin x,
f(-x)=-(-x)sin(-x)
=-xsin x=f(x).
∴f(x)是偶函数.
(2)由⇒-1<sin x<1,得函数定义域为
{x|x∈R,且x≠+kπ,k∈Z},关于原点对称.
又f(-x)=lg[1-sin(-x)]-lg[1+sin(-x)]
=lg(1+sin x)-lg(1-sin x)=-f(x),
∴函数f(x)是奇函数.
练一练
3.判断函数y=的奇偶性.
解:函数应满足1+sin x≠0,∴函数的定义域为.∵函数的定义域不关于原点对称,∴该函数既不是奇函数也不是偶函数.
讲一讲
4.求下列函数的单调增区间.
(1)y=2sin(-x);
(2)y=a+bsin x(a,b∈R且b≠0).
[尝试解答] (1)y=2sin(-x)=-2sin x,
∴函数y=2sin(-x)的递增区间就是函数
u=2sinx的递减区间.
∴函数y=2sin(-x)的递增区间为
(k∈Z).
(2)∵y=sin x的单调递增区间为
(k∈Z),减区间为(k∈Z).
∴当b>0时,y=a+bsin x的单调递增区间为
(k∈Z);
当b<0时,y=a+bsin x的单调增区间为
(k∈Z).
求形如y=a+bsin x的函数的单调区间,只需考察y=sin x的单调区间,当b>0时,y=a+bsin x与y=sin x的单调区间相同,当b<0时,则y=sin x的单调递增(减)区间是y=a+bsin x的递减(增)区间.
练一练
4.求函数y=2-sin x的单调区间.
解:∵y=2-sin x=,
∴所求函数的单调性与y=sin x的单调性正好相反.
∴所求函数的单调增区间是,(k∈Z).单调减区间是
,(k∈Z).
求函数y=sin2x-4sin x-1的值域.
[错解] ∵y=sin2x-4sin x-1=(sin x-2)2-5,
∴y≥-5.
∴此函数的值域为[-5,+∞).
[错因] 在探讨y=(sin x-2)2-5的值域时,误认为sin x∈R,而忽略了正弦函数的有界性,即|sin x|≤1.这也是此类问题的常见错误.
[正解] ∵y=sin2x-4sin x-1
=(sin x-2)2-5,
且-1≤sin x≤1
∴当sin x=-1时,函数的最大值是4.
当sin x=1时,函数的最小值是-4.
∴此函数的值域为[-4,4].
评语时间 :2019-07-09 13:31:41