第2课时　正弦函数的性质

[核心必知]

　　　　正弦函数y＝sin x的性质

 [问题思考]

1．“正弦函数在第一象限是增加的”这一说法正确吗？为什么？

提示：不正确．事实上，“第一象限”是由所有的区间(k∈Z)构成的，在这样若干个区间所构成的集合的并集内，显然函数值不是随着x值的增加而增加的．

2．正弦曲线有对称轴和对称中心吗？分别有多少个？

提示：正弦函数曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形．函数y＝sin x，(x∈R)的对称轴是x＝kπ＋(k∈Z)，有无数条；对称中心是点(kπ，0)(k∈Z)，有无穷多个．

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1．求函数y＝lg的定义域．

[尝试解答]　要使函数y＝lg有意义，

则sin x－>0，即sin x>.

作出正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图像．

如图，由图像可以得到满足条件的x的集合为

，k∈Z.

∴函数y＝lg的定义域为

，k∈Z.

1．求由三角函数参与构成的函数定义域，对于自变量必须满足：

(1)使三角函数有意义．

(2)分式形式的分母不等于零．

(3)偶次根式的被开方数不小于零．

(4)对数的真数大于0.

2．求三角函数定义域时，常常归结为解三角不等式(组)，这时可利用三角函数的图像直观地求得解集．

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1．求函数y＝的定义域．

解：要使函数有意义，必须使－3sin x≥0.即sin x≤0，

∴(2k－1)π≤x≤2kπ，k∈Z.

∴函数的定义域为[(2k－1)π，2kπ]，k∈Z.

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2．求下列函数的值域．

(1)y＝2－sin x；

(2)y＝lg sin x；

(3)y＝sin²x－4sin x＋5，x∈.

[尝试解答]　(1)正弦函数y＝sin x的值域为[－1，1]．所以函数y＝2－sin x的值域为[1，3]．

(2)∵0<sin x≤1，

∴y＝lg sin x≤0.

∴函数y＝lgsin x的值域为(－∞，0]．

(3)令t＝sin x，由x∈，得0≤t≤1.

y＝t²－4t＋5＝(t－2)²＋1.

当t＝0，即sin x＝0时，最大值为5，

当t＝1，即sin x＝1时，最小值为2.

∴该函数的值域是[2，5]．

1．对于形如f(x)＝asin x＋b的函数的值域可以利用正弦函数图像或有界性直接解决．

2．对于形如f(x)＝Asin²x＋Bsin x＋C的函数，可用配方法求其值域，注意当x有具体限制范围时，需要考虑sin x的范围．

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2. 求函数y＝a－2sin x(a∈R)取得最大值、最小值时x的集合．

解：当sin x＝1时，y最小，此时x＝＋2kπ，k∈Z，

当sin x＝－1时，y最大，此时x＝－＋2kπ，k∈Z，

所以，函数y＝a－2sin x取得最大值时x的集合为，

取得最小值时x的集合为.

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3．判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝xsin(π＋x)；

(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)．

[尝试解答]　(1)函数的定义域为R，关于原点对称．

f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsin x，

f(－x)＝－(－x)sin(－x)

＝－xsin x＝f(x)．

∴f(x)是偶函数．

(2)由⇒－1<sin x<1，得函数定义域为

{x|x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z}，关于原点对称．

又f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]

＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)，

∴函数f(x)是奇函数．

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3．判断函数y＝的奇偶性．

解：函数应满足1＋sin x≠0，∴函数的定义域为.∵函数的定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．

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4．求下列函数的单调增区间．

(1)y＝2sin(－x)；

(2)y＝a＋bsin x(a，b∈R且b≠0)．

[尝试解答]　(1)y＝2sin(－x)＝－2sin x，

∴函数y＝2sin(－x)的递增区间就是函数

u＝2sinx的递减区间．

∴函数y＝2sin(－x)的递增区间为

(k∈Z)．

(2)∵y＝sin x的单调递增区间为

(k∈Z)，减区间为(k∈Z)．

∴当b>0时，y＝a＋bsin x的单调递增区间为

(k∈Z)；

当b<0时，y＝a＋bsin x的单调增区间为

(k∈Z)．

求形如y＝a＋bsin x的函数的单调区间，只需考察y＝sin x的单调区间，当b>0时，y＝a＋bsin x与y＝sin x的单调区间相同，当b<0时，则y＝sin x的单调递增(减)区间是y＝a＋bsin x的递减(增)区间．

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4．求函数y＝2^{－sin x}的单调区间．

解：∵y＝2^{－sin x}＝，

∴所求函数的单调性与y＝sin x的单调性正好相反．

∴所求函数的单调增区间是，(k∈Z)．单调减区间是

，(k∈Z).

求函数y＝sin²x－4sin x－1的值域．

[错解]　∵y＝sin²x－4sin x－1＝(sin x－2)²－5，

∴y≥－5.

∴此函数的值域为[－5，＋∞)．

[错因]　在探讨y＝(sin x－2)²－5的值域时，误认为sin x∈R，而忽略了正弦函数的有界性，即|sin x|≤1.这也是此类问题的常见错误．

[正解]　∵y＝sin²x－4sin x－1

＝(sin x－2)²－5，

且－1≤sin x≤1

∴当sin x＝－1时，函数的最大值是4.

当sin x＝1时，函数的最小值是－4.

∴此函数的值域为[－4，4]．