5．有理数的减法

牟定县高平中学：张文海

一、学生起点分析

有理数的减法运算是一种基本的有理数运算，对今后正确熟练地进行有理数的混合运算，并对解决实际问题都有十分重要的作用。学生对减法运算并不陌生，但在小学阶段多是一种技能性的强化训练，学生对此缺乏理性的认识，很多时候减法仅作为加法的逆运算而存在．因此在教学中一方面要利用这些既有的知识储备作为知识生长的“最近发展区”来促进新课的学习，另一方面要通过具体情境中减法运算的学习，让学生体会减法的意义．

学生的知识技能基础：本节课是在学习了正负数、相反数、有理数的加法运算之后学习的新内容。

学生的活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些数学活动，解决了一些简单的实际问题，感受到了有理数运算的必要性与作用，具有了一定合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、学习任务分析

“数的运算”是“数与代数”学习领域的重要内容，减法是其中的一种基本运算．本课的学习远接小学阶段关于整数、分数（包括小数）的减法运算，近承第四节有理数的加法运算．通过对有理数的减法运算的学习，学生将对减法运算有进一步的认识和理解，为后继诸如实数、复数的减法运算的学习奠定了坚实的基础。鉴于以上对教学内容在教材体系中的位置及地位的认识和理解，确定本节课的教学目标如下：

三、教学目标：

（一）知识目标 

  1．理解掌握有理数的减法法则． 

  2．会进行有理数的减法运算． 

（二）能力目标

1．通过把减法运算转化为加法运算，向学生渗透转化思想． 

2．通过有理数减法法则的推导，发展学生的逻辑思维能力． 

3．通过有理数的减法运算，培养学生的运算能力． 

（三）情感目标：

在归纳有理数减法法则的过程中，通过讨论、交流等方式进行同伴间的合作学习．

为了实现以上教学目标，确定本节课的教学重点是：有理数的减法法则的理解和运用．教学难点是：在实际情境中体会减法运算的意义并利用有理数的减法法则解决实际问题．

四、学法引导 ：

1．教学方法：教师尽量引导学生分析、归纳总结，以学生为主体，师生共同参与教学活动． 

2．学生学法：探索新知→归纳结论→练习巩固． 

3．教学重点、难点、疑点及解决办法 

重点：有理数减法法则和运算． 

 难点：有理数减法法则的推导． 

3．师生互动活动设计 

教师提出实际问题，学生积极参与探索新知，教师出示练习题，学生以多种方式讨论解决． 

五、教学过程设计：

（一）创设情境，引入新课 

1.计算（口答）

 (1)7＋（－3）；        (2)－3＋（－7）；  

  (3) －10＋（＋3）；    (4) ＋10＋（－3）．

2.用算式表示下列情境．

先请同学读出右图的第一支温度计所示温度．学生口答为 5℃，现上升15℃（演示动画，让学生仔细观察这一过程），到20℃处停止．学生通过观察口答表示这一情境的算式：5＋15=20（此举进一步揭示加法在实际中的应用）．

第二支温度计上温度为15℃，现下降10℃（演示动画，让学生仔细观察这一过程），到5℃处停止．学生通过观察回答用加法表示这一情境的算式：15＋（－10）=5．你能从图中观察出15℃比5℃高多少吗？你是怎样得出结论的？能用算式表示吗？得：15－5=10．这是一个小学里就已经学过的减法问题．

再观察第三支温度计，它显示的温度是－10℃，现上升15℃（演示动画，让学生仔细观察这一过程），到5℃处停止．学生通过观察回答表示这一情境的算式：

（－10）＋15=5；温度又从5℃下降到－10℃（继续演示动画），你能从图中看出哪个温度更高些吗？高多少？你是怎样得出这个结论的？能用算式表示吗？

学生讨论后，尝试给出算式5－（－10）=？是15吗？这个算式该如何计算呢？这就是我们今天要学的内容．

这是一个具体实例，教师创设问题情境，激发学生的认知兴趣，渗透了数形结合的思想，把具体实例抽象成数学问题，从而点明本节课的课题――有理数的减法．

【教法说明：1题既复习巩固有理数加法法则，同时为进行有理数减法运算打基础．2题是一个具体实例，创设问题情境，激发学生的认知兴趣，把具体实例抽象成数学问题，从而点明本节课课题—有理数的减法．】 

（二）师生共同探索新知 

活动内容：通过对温度计的观察，计算温差，感知有理数减法法则。

    问题1：你能从温度计上看出4℃比－3℃高多少摄氏度吗？

   先请同桌两位同学相互讨论交流，然后请2~3个学生发言．

    问题2：如何计算4－（－3）呢？

先引导学生回忆：被减数、减数、差之间的关系，被减数－减数=差，再利用减法是加法的逆运算，引导学生得出：差＋减数=被减数·

如：计算4－3就是求一个数“x”，使它加上3等于4，同样的，要计算4－（－3）就是求一个数“x”，使x与－3相加等于4.

   即X+（－3） =4，因为7+（－3） =4，所以4－（－3） =7

减法                             加法
（+4）-（-3）=+7           (+4)+(+3)=+7
 让学生比较上面这两个算式并讨论后得出：

（+4）-（-3）=(+4)+(+3)  

再给出以下算式：

 减法                   加法

 (+5)-（+2）=+3       （+5）+（-2）=+3
 继续让学生比较上面这两个算式并讨论后得出：

 (+5)-（+2）=（+5）+（-2）

问题3：请同学们想一想，4十？=7?

    请学生回答，教师板书：4＋（＋3) = 7，用彩色粉笔在4－（－3）与4十（＋3)处画出着重号．引导学生观察4＋（＋3)=7与4－（－3)=7，从而提出猜想“减去一个数与加上这个数的相反数是相等的”：

    4-（－3）=4＋（＋3）．

    这时教师问：你发现这个等式有什么特点？

    学生回答后，示意再换几个数试一试，并请学生分组合作计算、交流：

   （1）把4换成0，－1，－5，得0－（－3），（－5）－（－3），（－5）一（－3），这些数减（－3）的结果与它们加（＋3）的结果相同吗？

   （2）计算9－8，9＋（一8），15一7，15＋（一7），你发现了什么？

    请小组代表全班汇报，教师在此基础上归纳：

    有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．

    问题4：你能够用字母把法则表示出来吗？

a－b=a＋（－b） (说明：简明的表示方法，体现字母表示数的优越性实际运算时会更加方便）

强调运用法则时：被减数不变，减号变加号，减数变成其相反数
   减数变号（减法============加法）

活动目的：《标准》中明确指出：学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者．基于以上理念，结合本节课内容及学生情况，教学设计中采用“引导——发现法”组织教学．其基本程序设计为：创设情境——提出猜想——探索验证——总结归纳——反馈运用．

上述教学程序的实施很大程度上有赖于学生的学习，因此对学生学习方式的指导是十分重要的．本节课应鼓励和引导学生采用自主探索与合作交流相结合的方式进行学习，让学生亲历从列举特例到归纳（不完全归纳）出一般的减法法则的全过程，体验知识产生和发展的全过程．

教学要求与效果：通过学生的合作探讨，培养学生与他人合作交流的习惯与意识，改变他们的学习方式，争取让他们的学习方式，争取让每个学生都在同伴的交流中获益。此处也是让学生验证前面所提的猜想的正确性，用字母把减法法则表示出来，有利于学生的理解和记忆。

（三）应用举例，变式练习

活动内容： 让学生完成课本P63的练习1，巩固有理数减法法则的运用，强化学生对这节课的掌握。例1，例2口答，例3题请2个学生上黑板板演。对回答好的同学给予表扬肯定，如果有错误，请其他同学纠正。

 例1．计算 :(1)   (-3)-（-5）;    （2） 0 - 7
 例2．计算（1） 7.2 - (-4.8) ；     (2)  (-3 －2 ) - 5

例3  世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度大约为是8848米，吐鲁番盆地的海拔高度大约是－155米，两处高度相差多少米？

活动目的：通过例题教学使学生巩固方法，初步具备解决问题的能力。讲解时注意让学生复述有理数法减法则，加深学生对法则的认识，并注意归纳有理数减法的规律，而不机械地将减法转化成加法，为今后进一步学习减法运算逐步省略化成加法的中间步骤作准备。渗透化归的思想：让学生归纳一些运算的规律、特征，有利于提高学生的运算能力。补充例题的作用在于让学生体会减法在实际生活的应用。让学生感受8848米这个高度，培养学生的数感。

（四）尝试反馈，巩固练习

  教科书第49页练习题1、2

  学生活动：1题找学生口答，2题指名学生板演，其他同学做在练习本上．

活动目的：学生对有理数减法法则已经熟悉，学生在做练习时，要引导学生注意归纳有理数减法规律，而不要只是简单机械地将减法化成加法，为以后逐步省略化成加法的中间步骤做准备．】

（五）我编你答．

应用课件随机出题，学生抢答.

活动目的：教师与学生以平等身份参与教学，放手让学生自己编拟有理数减法的题目，其目的是让学生巩固已学知识．这样做，一方面可以活跃学生的思维，培养学生的表达能力．另一方面通过出题，相互解答，互相纠正，能增强学生学习的主动性和参与意识．同时，教师可以获取学生掌握知识的反馈信息，对于存在的问题及时回授．

（六）课堂小结 

    通过本节课学习你学到了什么？ 

小结强调：有理数减法法则是一个转化法则，要求同学们掌握并能应用其计算．对于小学不能解决的2－5这类不够减的问题就不成问题了．也就是说，在有理数范围内，减法总可能实施．

（六）布置作业  

    习题1.6第1、2、3题中的奇数题；第4、5题中的偶数题
    课后完成：习题1.6第1、2、3题中的偶数题；第4、5题中的奇数题

设计说明

    本案例从数学知识的形成过程设计问题，使得学生的认知能力与知识的形成不分离，达到结伴而行的目的。主要方法与效果有以下几点：

（1)以问题情境为导引。为学生提供丰富的感性材料，这有助于学生积极参与，调动学生的积极性，树立学习的自信心。

（2）调动学生动手实验，动脑思考，教学中很多知识的形成要借助于数学实验来发现。

（3)让学生主动参与探索。学生的数学学习往往是现实的、有趣的、富有挑战性的，他们通过对教师设置问题的研究，积极探究发现，动脑猜想、归纳、证明，从而理解有理数的减法法则，使学生的探究能力得到提高。

2.5有理数的减法

牟定县高平中学：张文海

1．使学生掌握有理数减法法则并熟练地进行有理数减法运算；

2．培养学生观察、分析、归纳及运算能力．

教学重点和难点  有理数减法法则

教学方法：三疑三探教学

一、设疑自探

1．复习引入

①．计算：(1)(-2.6)+(-3.1)；  (2)(-2)+3；  (3)8+(-3)；  (4)(-6.9)+0．

②．化简下列各式符号：

(1)-(-6)；             (2)-(+8)；           (3)+(-7)；

(4)+(+4)；           (5)-(-9)；            (6)-(+3)．

3．填空：

(1)______+6=20；                (2)20+______=17；

(3)______+(-2)=-20；           (4)(-20)+______=-6．

在第3题中，已知一个加数与和，求另一个加数，在小学里就是减法运算．如______+6=20，就是求20-6=14，所以14+6=20．那么(2)，(3)，(4)是怎样算出来的？这就是有理数的减法，减法是加法的逆运算．

二．解疑合探

问题1  (1)(+10)-(+3)=______ ；

(2)(+10)+(-3)=______．

教师引导学生发现：两式的结果相同，即

(+10)-(+3)=(+10)+(-3)．

教师启发学生思考：减法可以转化成加法运算．但是，这是否具有一般性？

问题2  (1)(+10)-(-3)=______ ；

(2)(+10)+(+3)=______．

对于(1)，根据减法意义，这就是要求一个数，使它与-3相加等于+10，这个数是多少？

(2)的结果是多少？

于是，(+10)-(-3)=(+10)+(+3)．

至此，教师引导学生归纳出有理数减法法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数．

教师强调运用此法则时注意“两变”：一是减法变为加法；二是减数变为其相反数．

三．质疑再探：

例1  计算：

(1)(-3)-(-5)；  (2)0-7．

例2  计算：

(1)18-(-3)；  (2)(-3)-18；  (3)(-18)-(-3)；  (4)(-3)-(-18)．

通过计算上面一组有理数减法算式，引导学生发现：

在小学里学习的减法，差总是小于被减数，在有理数减法中，差不一定小于被减数了，只要减去一个负数，其差就大于被减数．

例3  计算：

(1)(-3)-[6-(-2)]；  (2)15-(6-9)．

例4  15℃比5℃高多少？ 15℃比-5℃高多少？

1．计算(口答)：

(1)6-9；  (2)(+4)-(-7)； (3)(-5)-(-8)   (4)(-4)-9； 

 (5)0-(-5)；      (6)0-5．

2．计算：    (1) 15-21；       

(2)(-17)-(-12)；       (3)(-2.5)-5.9；

3、小结

①．教师指导学生阅读教材后强调指出：由于把减数变为它的相反数，从而减法转化为加法．有理数的加法和减法，当引进负数后就可以统一用加法来解决．

②．不论减数是正数、负数或是零，都符合有理数减法法则．在使用法则时，注意被减数是永不变的．