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22.3 实际问题与一元二次方程

    教学内容

    运用速度、时间、路程的关系建立一元二次方程数学模型解决实际问题．

    教学目标

    掌握运用速度、时间、路程三者的关系建立数学模型并解决实际问题．

    通过复习速度、时间、路程三者的关系，提出问题，用这个知识解决问题．

    重难点关键

    1．重点：通过路程、速度、时间之间的关系建立数学模型解决实际问题．

    2．难点与关键：建模．

    教具、学具准备

    小黑板

    教学过程

    一、复习引入

    （老师口问，学生口答）路程、速度和时间三者的关系是什么？

    二、探究新知

    我们这一节课就是要利用同学们刚才所回答的“路程＝速度×时间”来建立一元二次方程的数学模型，并且解决一些实际问题．

    请思考下面的二道例题．

    例1．某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s（m）和时间t（s）之间的关系为：s=10t+3t²，那么行驶200m需要多长时间?

    分析：这是一个加速运运，根据已知的路程求时间，因此，只要把s=200代入求关系t的一元二次方程即可．

    解：当s=200时，3t²+10t=200，3t²+10t-200=0

    解得t=（s）

    答：行驶200m需s．

    例2．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车．

（1）从刹车到停车用了多少时间?

（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少?

（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）?

    分析：（1）刚刹车时时速还是20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为0．因为刹车以后，其速度的减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速度为=10m/s，那么根据：路程=速度×时间，便可求出所求的时间．

    （2）很明显，刚要刹车时车速为20m/s，停车车速为0，车速减少值为20-0=20，因为车速减少值20，是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以20除以从刹车到停车的时间即可．

    （3）设刹车后汽车滑行到15m时约用除以xs．由于平均每秒减少车速已从上题求出，所以便可求出滑行到15米的车速，从而可求出刹车到滑行到15m的平均速度，再根据：路程=速度×时间，便可求出x的值．

    解：（1）从刹车到停车所用的路程是25m；从刹车到停车的平均车速是=10（m/s）

    那么从刹车到停车所用的时间是=2.5（s）

    （2）从刹车到停车车速的减少值是20-0=20

    从刹车到停车每秒平均车速减少值是=8（m/s）

    （3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s

    则这段路程内的平均车速为=（20-4x）m/s

    所以x（20-4x）=15

    整理得：4x²-20x+15=0

    解方程：得x=

    x₁≈4.08（不合，舍去），x₂≈0.9（s）

    答：刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s．

    三、巩固练习

    （1）同上题，求刹车后汽车行驶10m时约用了多少时间．（精确到0.1s）

    （2）刹车后汽车行驶到20m时约用了多少时间．（精确到0.1s）

    四、应用拓展

    例3．如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头：小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一般补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．

    （1）小岛D和小岛F相距多少海里?

    （2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里?（结果精确到0.1海里）

    分析：（1）因为依题意可知△ABC是等腰直角三角形，△DFC也是等腰直角三角形，AC可求，CD就可求，因此由勾股定理便可求DF的长．

    （2）要求补给船航行的距离就是求DE的长度，DF已求，因此，只要在Rt△DEF中，由勾股定理即可求．

    解：（1）连结DF，则DF⊥BC

    ∵AB⊥BC，AB=BC=200海里．

    ∴AC=AB=200海里，∠C=45°

    ∴CD=AC=100海里

    DF=CF，DF=CD

    ∴DF=CF=CD=×100=100（海里）

    所以，小岛D和小岛F相距100海里．

    （2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里，

    EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2x）海里

    在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程

    x²=100²+（300-2x）²

    整理，得3x²-1200x+100000=0

    解这个方程，得：x₁=200-≈118.4

    x₂=200+（不合题意，舍去）

    所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里．

    五、归纳小结

    本节课应掌握：

    运用路程＝速度×时间，建立一元二次方程的数学模型，并解决一些实际问题．

    六、布置作业

    1．教材P₅₃  综合运用9  P₅₈  复习题22  综合运用9．

    2．选用作业设计:

一、选择题

1．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为（  ）．

    A．25      B．36      C．25或36     D．-25或-36

2．某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3km都需付7元车费）；超过3km以后，每增加1km，加收2.4元（不足1km按1km计），某人乘出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程（  ）．

    A．正好8km    B．最多8km    C．至少8km     D．正好7km

二、填空题

1．以大约与水平成45°角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出的距离s（单位：m）与标枪出手的速度v（单位：m/s）之间大致有如下关系：s=+2

    如果抛出40m，那么标枪出手时的速度是________（精确到0.1）

2．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s（m）与时间t（s）的数据如下：

    写出用t表示s的关系式为_______．

三、综合提高题

1．一个小球以10m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动20m后小球停下来．

    （1）小球滚动了多少时间?

    （2）平均每秒小球的运动速度减少多少?

    （3）小球滚动到5m时约用了多少时间（精确到0.1s）?

2．某军舰以20节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30节的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图，当该军舰行至A处时，电子侦察船正位于A处正南方向的B处，且AB=90海里，如果军船和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰?如果能，最早何时能侦察到?如果不能，请说明理由．