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过程与方法目标

在学生经历“观察—猜想—归纳—验证”勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想.

情感与态度目标

通过对勾股定理历史的了解,感受数学文化，激发学习兴趣；

在探究活动中，培养学生的合作交流意识和探索精神.

重点

探索和证明勾股定理.

难点

用拼图方法证明勾股定理.

学具

剪刀和边长分别为a、b的两个连体正方形纸片.

活动1  创设情境→激发兴趣

通过对赵爽弦图的了解，激发起学生对勾股定理的探索兴趣.

活动2  观察特例→发现新知

通过问题激发学生好奇、探究和主动学习的欲望.

活动3  深入探究→交流归纳

观察分析方格图，得出直角三角形的性质——勾股定理，发展学生分析问题的能力.

活动4  拼图验证→加深理解

通过剪拼赵爽弦图证明勾股定理，体会数形结合思想，激发探索精神.

活动5  实践应用→拓展提高

初步应用所学知识，加深理解.

活动6  回顾小结→整体感知

回顾、反思、交流.

活动7  布置作业→巩固加深

巩固、发展提高.

活动1 创设情境→激发兴趣

2002年在北京召开的第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”.这就是本届大会会徽的图案. 它象一个转动的风车，挥舞着手臂，欢迎来自世界各国的数学家们.

（1）你见过这个图案吗？

（2）你听说过“勾股定理”吗？

会徽

教师出示照片及图片.

学生观察图片发表见解.

教师作补充说明：

这个图案是我国汉代数学家赵爽用来证明勾股定理的“赵爽弦图”加工而来，展现了我国古代对勾股定理的研究成果，是我国古代数学的骄傲.

教师应重点关注：

（1）学生对“赵爽弦图”及勾股定理的历史是否感兴趣；

（2）学生对勾股定理的了解程度.

通过欣赏图片，了解历史，介绍与勾股定理有关的背景知识，激发学生学习兴趣，自然引出本节课的课题.

活动2 观察特例→发现新知

毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家.相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种数量关系.

（1）同学们，请你也来观察下图中的地面，看看能发现些什么？

  地面         图18.1-1

（2）你能找出图18.1-1中正方形A、B、C面积之间的关系吗？

（3）图中正方形A、B、C所围等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系?

教师展示图片，提出问题.

学生独立观察图形，分析思考其中隐藏的规律.

学生通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将正方形A、B中小等腰直角三角形补成一个大正方形得到：正方形A、B的面积之和等于大正方形C的面积.

教师引导学生，由正方形的面积等于边长的平方归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

通过讲传说故事来进一步激发学生学习兴趣，使学生在不知不觉中进入学习的最佳状态.

“问题是思维的起点”，通过层层设问，引导学生发现新知.

问题与情境

师生行为

设计意图

活动3 深入探究→交流归纳

（1）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢？

图18.1-2

如图18.1-2，每个小方格的面积均为1，以格点为顶点，有一个直角边分别是2、3的直角三角形.仿照上一活动，我们以这个直角三角形的三边为边长向外作正方形.

（2）想一想，怎样利用小方格计算正方形A、B、C面积？

（3）正方形A、B、C面积之间的关系是什么？

（4）直角三角形三边之间的关系用命题形式怎样表述？

教师出示图表.

学生独立观察并计算各图中正方形A、B、C的面积并完成填表.

教师参与小组活动，指导、倾听学生交流.针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积.

学生分组交流，展示求面积的不同方法，如：在正方形C周围补出四个全等的直角三角形而得到一个大正方形，通过图形面积的和差，得到正方形C的面积.或者，将正方形C分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，求得正方形C面积.

学生利用表格有条理地呈现数据，归纳得到：正方形A、B的面积之和等于正方形C的面积.

在上一活动“探究等腰直角三角形三边关系” 的基础上，学生类比迁移，得到：两直角边的平方和等于斜边的平方.

师生共同讨论、交流、逐步完善，得到命题1:如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c ，那么a2　　+ b2　　=c2　　.

教师应重点关注：

学生能否主动参与探究活动，在讨论中发表自己的见解，倾听他人的意见，对不同的观点进行质疑，从中获益.

渗透从特殊到一般的数学思想.为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高.

问题与情境

师生行为

设计意图

活动4 拼图验证→加深理解

（弦图验证）

（1）观察赵爽弦图，思考：

如何利用此图的面积表示式验证命题1 ？

赵爽弦图

（拼图验证）

（2）仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将边长为a、b的两个连体正方形，拼成一个新的正方形？

图18.1-3（1）

图18.1-3（2）

图18.1-3（3）

问题与情境

教师展示图片，提出问题.

学生观察图形可得：大正方形面积=四个全等直角三角形面积+中间小正方形面积. 再由代数恒等变形能得到a2　　+ b2　　＝ c2　　，即验证了命题1.

教师指导学生阅读教材73页，了解赵爽是如何利用拼图的方法来证明命题1的.

学生在弦图验证的基础上，参照教科书74页图18.1—3开展拼图，以小组为单位，合作探究.

有的学生会盲目动手，如沿正方形对角线分割等.让学生自己思考、总结、更正，在不断的摸索中找到解决问题的正确方法.

引导学生拼图的关键是：构造以a、b为直角边的直角三角形.结合纸片，即在线段MN上确定一点P，使分得的新线段与已有边长a、b构成需要的直角三角形.

通过小组讨论，学生可能出现以下方法确定点P ：

    情况1，在线段MN上截取MP = a,得到NP = b，从而确定点P；

情况2，通过折叠，得到边长为a - b的正方形，它实际上是赵爽弦图的黄实，延长小正方形的一边与线段MN相交于点P.

 得到教科书74页图18.1—3图1，构造了以a、b为直角边的直角三角形，令斜边为c，沿直角三角形的斜边分割从而拼得边长为c的正方形，完成拼图.

鼓励学生代表作示范演示，展示分割、拼接的过程.

师生行为

让学生模拟数学家的思维方式和思维过程, 亲身体验勾股定理的探索与验证，使学生对定理的理解更加深刻，体会数形结合思想，发展创造性思维能力. 

由传统的数学课堂向实验的数学课堂转变.

设计意图

（3）怎样根据拼图活动的结果证明勾股定理呢？

（定理命名）结合本节内容给出定理的概念.向学生对比介绍古今中外对勾股定理的研究成果，指出我国是最早发现勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载：公元前1100年人们已经知道“勾广三，股修四，径隅五”. 把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦. 将此定理命名为勾股定理.

再利用多媒体动画演示.

学生容易想到：未剪之前，图形面积是a2　　+ b2　　，在拼图过程中，构造了以a、b为直角边的直角三角形，得到斜边为c.拼接之后新的正方形边长是c ，面积为c2　　.从而得到直角三角形三边的关系：a2　　+ b2　　＝ c2　　.再次验证命题1.

教师应重点关注：

（1）学生能否进行合理的分割，对不同层次的学生有针对性地给予分析、帮助；

（2）学生能否用语言准确地表达自己的观点.

对学生进行爱国主义教育，增强学生的民族自豪感.

活动5 实践应用→拓展提高

1.求出下列直角三角形中未知边的长度.

2. 试一试：

剪四个与图1完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图2所示的图形.

大正方形的面积可以表示为________________________,
又可以表示为____________.
对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论.

问题与情境

练习1是求直角三角形中未知边的长度，提示学生分清直角边和斜边，再将值代入a2　　+ b2　　=c2　　求解. 归纳出：  已知直角三角形任意两边，能求第三边. 

练习2 与前面的弦图验证相呼应，让学生体会数形结合思想，了解勾股定理证法的多样性.

师生行为

补充课堂练习，让学生对本节课的知识进行最基本的运用，为下节课勾股定理的应用做好铺垫.

设计意图

3.如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？

练习3是在练习1的基础上运用勾股定理解决简单实际问题.

活动6：回顾小结→整体感知

过程小结，知识小结.

学生谈体会.

教师进行补充.

教师应关注学生是否能从不同方面谈感受.

学生通过对学习过程的小结，领会其中的数学思想方法；通过梳理所学内容，形成完整知识结构，培养归纳概括能力.

活动7：布置作业→巩固加深

1.必做题：课本第77页，习题18.1 第1, 7题.

2.选做题：（根据自己的情况选择完成）

（1）课本第80页“阅读与思考”了解勾股定理的多种证法.

（2）课本第86页“活动１”上网查阅下列网址：
http://www.mmit.stc.sh.cn/telecenter/CnHisScience/ggdl.htm了解勾股定理的发现和证明，并写一篇关于关于它的小论文.

针对学生认知的差异设计了有层次的作业题，既使学生巩固知识，形成技能，又使学有余力的学生获得最佳发展.

板书设计：

        18.1勾股定理（一）

一、了解历史 ：赵爽弦图               四、反馈练习

二、图形探究→猜想→证明                  1.

三、勾股定理：                            2.

      如果直角三角形两直角边长            3.

     分别是a,b,斜边是c,那么          五、小结：

      a2　　+ b2　　=c2　　                   六、作业：

勾勒出教学的主线，呈现完整知识结构体系.并用彩色增加信息的强度，突出重点.