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第2课时  子集、全集、补集

●三维目标

1．知识与技能

(1)了解集合之间包含的含义，能识别给定集合的子集．

(2)理解子集、真子集的概念．

(3)能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用．

2．过程与方法

让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义．

3．情感、态度与价值观

(1)树立数形结合的思想．

(2)体会类比对发现新结论的作用．

●重点、难点

重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念．

难点：难点是属于关系与包含关系的区别．

●教学建议

1．关于子集、真子集的概念，建议教师让学生从三个方面去理解它们．自然语言、符号语言、图形语言(Venn图)，特别是图形语言，即Venn图表示可以形象直观地表示集合间的关系，故学时要让学生知道表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形，

也可以是其他封闭曲线．

2．关于包含符号“”的理解，建议教师提醒学生符号的方向不要搞错，如AB与BA是相同的，同时强调“AB”包含两层含义；即“AB”或“A＝B”．

3．关于补集的教学

建议教师讲解时：①充分利用Venn图的直观性引进概念，讲清概念的含义．②语言表述要确切无误．“C_UA是A在全集U中的补集”，不能把它简单地说成C_UA是A的补集，因为补集是在全集的前提下建立的概念，即补集是一个相对概念．

4．关于全集的教学

建议教师讲解时突出强调全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题则z为全集，而当问题扩展到实数集时，则R为全集．

【问题导思】　

给出两个集合A＝{2,4}，B＝{1,2,3,4}．

1．集合A中的元素都是集合B中的元素吗？【提示】　是．

2．集合B中的元素都是集合A中的元素吗？【提示】　不全是．

归纳：1．子集

如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集，记为AB或BA，读作“集合A包含

于集合B”或“集合B包含集合A”．

可用Venn图表示为：

子集的性质：

(1)AA，即任何一个集合是它本身的子集．

(2)A，即空集是任何集合的子集．[来源:Z。xx。k.Com]

2．真子集的概念

真子集：如果AB，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．

【问题导思】　

A＝{高一(1)班参加足球队的同学}，B＝{高一(1)班没有参加足球队的同学}，U＝{高一(1)班的同学}．

1．集合A，B，U有何关系？  【提示】　U＝A∪B.

2．B中元素与U和A有何关系？【提示】　B中元素在U中不在A中．

归纳：1．补集

(1)定义：设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集．记为C_SA(读作“A在S中的补集”)．

(2)符号表示:  C_SA＝{x|x∈S，且x∉A}．

(3)图形表示：

2．全集: 如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.

【例1】已知集合M满足{1,2}M{1,2,3,4}，写出集合M.

【思路探究】　可按集合M中含有元素的个数分类讨论求解．

【规律方法】

1. 本类问题实质是考查包含于“”和真包含于“”的运用，解答本题首先分清两符号的含义，确定集合中元素的个数然后进行分类讨论.

2. 求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2ⁿ个子集，有2ⁿ－1个真子集，有2ⁿ－2个非空真子集，其中空集和集合本身易漏掉．

【互动探究】

将本题中条件改为{1,2}M{1,2,3,4,5}如何求解？

【例2】已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，C_UA＝{2,4,6}，C_UB＝{1,4,6}，求集合B.

【思路探究】　先由集合A与C_UA求出全集，再由补集定义求出集合B，或利用Venn图求出集合B.

【规律方法】

根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出全集，此类问题，当集合中元素个数较少时，可借助Venn图；当集合中元素无限时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．

【变式训练】

(1)若U＝{1,2,3,4,5}，S＝{1,2,3,4}，A＝{1,2}，则C_UA＝________，C_SA＝________.

(2)已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|x>1}，则C_UA＝________.

【例3】已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且BA.求实数m的取值范围．

【思路探究】　→→

【规律方法】

1．解答本题注意不能忽视B＝的情形．当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．

2．对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．

【变式训练】

设集合A＝{x|a－2<x<a＋2}，B＝{x|－2<x<3}，

(1)若AB，求实数a的取值范围；    (2)是否存在实数a使BA?

【例4】已知集合A＝{x|x≥m}，集合B＝{x|－2<x<3}，

(1)若全集U＝R，且AC_UB，求m的取值范围；   (2)若集合C＝{x|m＋1<x<2m}，且CC_AB，求m的取值范围．

【思路探究】　(1)先求C_UB，再利用AC_UB得m的取值范围．(2)先求C_AB，再利用CC_AB得m的取值范围．

【规律方法】

针对此类问题，已知补集之间的关系求参数的取值范围时，常根据补集的定义及集合之间的关系，并借助数轴．列出参数a应满足的关系式，具体操作时要注意端点值的“取”与“不取”．

【变式训练】

设全集U＝R，A＝{x|x>1}，B＝{x|x＋a<0}，且B C_UA，求实数a的取值范围．

忽略空集的情形导致错误

【例4】已知集合A＝{x|x²－2x－3＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且BA，求实数a的值．

【错解】　A＝{x|x²－2x－3＝0}＝{－1,3}．由于BA，因此B＝{－1}或B＝{3}．

当B＝{－1}时，由a×(－1)－2＝0，可得a＝－2； 当B＝{3}时，由a×3－2＝0，可得a＝3(2).综上所述，实数a的值为－2或3(2).

【错因分析】　B为空集时，显然也满足已知条件．解题时，需注意空集是任何一个集合的子集(这个“任何一个集合”当然也包含空集本身)，是任何非空集合的真子集．

【防范措施】　根据“AB”条件，在求相关参数值时，不可忽视集合A可以为空集这个特殊情况，同时还要进行检验，看是否满足元素的互异性．

【正解】　A＝{x|x²－2x－3＝0}＝{－1,3}．当B≠时，由于BA，因此B＝{－1}或B＝{3}．

① 当B＝{－1}时，由a×(－1)－2＝0，可得a＝－2；

②当B＝{3}时，由a×3－2＝0，可得a＝3(2).

③当B＝时，ax－2＝0无解，可得a＝0.    综上所述，实数a的值为－2或3(2)或0.

[来源:学科网ZXXK]

1．正确地理解子集、真子集的概念：[来源:Zxxk.Com]

如果A是B的子集(即AB)，那么有A是B的真子集(AB)或A与B相等(A＝B)两种情况．“AB”和“A＝B”二者必居其一．反过来，A是B的真子集也可以说A是B的子集；A＝B也可以说成A是B的子集．

2．用Venn图表达集合与集合之间的关系，直观、方便，尤其是抽象集合之间关系的问题，常用Venn图求解．

3．全集为研究一个问题的所有元素的全体，即该问题所涉及的元素的范围，是一个相对的概念，全集因问题的不同而异．

4．补集与全集密不可分．同一集合在不同全集下的补集是不同的，因而说集合的补集的前提是必须先明确全集，一个集合与它的补集是互为补集的关系，补集也是一种思想，是一种思考和处理问题的思维方式．

1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，则C_UA＝________.

2．集合A＝{0,1,2}的真子集个数是________．

3．设x、y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|x(y)＝1}，则A、B的关系是________．[来源:学科网ZXXK]

4．已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x－a≥0}．

(1)若AB，求a的取值范围；    (2)若全集U＝R，且AC_UB，求a的取值范围．

若方程x²＋x＋a＝0至少有一个根为非负实数，求实数a的取值范围．

【变式训练】

若集合A＝{x|x²＋x＋m＝0，x∈R}至少含有一个元素，求m的取值范围．