《基本不等式:≤2(a+b)》一课教学设计

                                          绥芬河市高级中学：包秀玲

本节课选自人教A版普通高中课程标准实验教科书，数学（必修5）第三章第四节第一课时，下面就本节课的设计做以下说明：

一、教材分析：

      本章通过对不等式的学习,使学生体会并理解不等关系的重要性，基本不等式是证明其它不等式、求某些函数最大值或最小值的理论依据；同时通过对基本不等式的推到和证明能很好地培养学生的逻辑推理能力；基本不等式在解决数学问题和实际问题中也有广泛的应用。

      前几节已经学习了不等式的概念和性质，本节课的内容主要是学习重要不等式和基本不等式，以及不等式的应用，比较大小与求最大或最小值等。新教材淡化了不等式的证明,注重公式的几何背景及应用环节,强调不等式在求最值中的应用。

二、学情分析：

1.认知水平:学生具备一定的平面几何的基本知识,具备了探索基本不等式和探究其几何解释的基础.而且前面已经学习了不等关系,不等式的性质,并能够运用作差比较法比较两个数的大小.所以在探索基本不等式,寻找不等关系时不会有困难,在对得到的重要不等式进行证明时,多数学生可以顺利完成；

2.心理特点:多数学生有积极的学习态度,能主动参与探究，少数学生的学习主动性需要营造一定的学习氛围加以带动。

三、教学目标及重难点设计：

（一）教学目标设计

1、知识与技能目标：了解基本不等式的代数、几何背景; 体会证明不等式的基本方法;能应用基本不等式解决简单的数学问题；

2、 过程与方法目标:：经历观察、抽象、证明等探索基本不等式的过程,领会数形结合的思想方法；

3、情感、态度与价值观目标：养成严谨求实的科学态度;体会数与形的和谐统一;激发数学学习的兴趣。

（二）重难点、关键及教学手段设计：

1、重点及依据：

重点：分别从数和形两个角度理解基本不等式，并进行简单应用

依据：依据:学生在学习数学和运用数学知识解决问题时,不断地经历直觉思维和理性思维的思维碰撞、几何直观和演绎证明的思维过程,这些过程对于提高学生的数学素养.形成和发展他们的数学品质必将起着十分重要的作用.

2、难点及依据：

难点：从形的角度探索基本不等式的证明过程

依据：学生的思维的深刻性和数形结合的意识相对薄弱.

3、 关键：挖掘出图形中蕴涵的不等关系

4、 教学手段设计：教师适时引导和学生自主探究相结合,多媒体辅助教学

手段解析：在课堂教学过程中,教师适时引导和学生自主探究相结合,帮助学生激活先前知识或经验,探寻问题的解决办法,让学生在自主学习、探究学习和互助交流的过程中获得知识、培养能力.最后,让学生自主小结,进一步巩固对基本不等式正确应用的意识。

四、教学流程设计：

（一）创设情境,提出问题:

如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民的热情好客.你能在这个图中找出一些相等或不等关系么? 

（二）逐步分析,引入课题:

问题一:此图案中隐含着什么样的几何图形呢?

追问1:图中三角形面积之和用a,b表示是多少?           赵爽弦图

追问2: 图中正方形ABCD,面积用a,b表示,是多少?              

追问3:他们有什么固定的大小关系吗?                                                             

追问4:什么时候这两部分面积相等呢?                                                     

（三）得出结论,建构数学：                               几何图形

重要不等式: 如果a,b∈R,那么a²+b²≥2ab (当且仅当a=b时, “=” 成立)

问题二:你能证明这个不等式吗?

问题三:特别的,如果a>0、b>0,用、分别代替a、b,能得到什么结论?

基本不等式: 如果a,b是正数,那么≤2(a+b)(当且仅当a=b时, “=”成立)

分析不等式: (1)适用的条件  (2)结构的特征  (3) “=”成立的条件

说明:我们常把叫做正数a、b的算术平均数,把称为正数a、b的几何平均数.因而,此定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

（四）自主探究,推证结论:

问题四:以上我们从几何图形中的面积关系获得了基本不等式,能否利用不等式的性质,直接推导出这个不等式吗?

 分析: 要证             2(a+b)≥            ①

只要证           a+b≥               ②

要证②,只要证     a+b－      ≥0       ③

要证③,只要证    (     －     )≥0     ④

显然, ④是成立的,当且仅当a=b时, ④中等号成立

（五）数形结合,相得益彰:                                                         

探究:如图AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC=aAB=b,过点C做垂直与AB的弦DE连接AD,BD.

你能利用图形给出基本不等式的几何解释么?

（六）例题示范,学会应用:

例题1: x >0,比较 x+x(1)与2的大小?

例题2: 已知a,b为正数,求证: a(b)+ b(a)≥2,并指出等号成立的条件.

备选练习:已知x>0,y>0求证:(x+y)(x²+y²)(x³+y³)>8x³y³.

（七）归纳小结,反思提高: 

1.通过本节课的学习,你学到了什么知识?  

2.在解决问题的基础上,你掌握了哪些探求问题的方法和数学思想方法?

（八）布置作业,分层对待：

书面作业:P₁₀₀  习题3.4  A组  第1题   

弹性作业:你能利用下面的几何图形,给出基本不等式的另外的几何解释吗?