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§24．4扇形的面积

奎山镇中学  佟欢欢

教材分析

本节课的教学内容是义务教育课程标准实验教科书北师大版九年级下册第24章《圆》中的 “扇形的面积”，这节课是学生在前阶段学完了 “圆的认识”、 “与圆有关的位置关系”、“弧长的计算公式”的基础上进行的拓展与延伸。本课由特殊到一般探索弧长及扇形面积公式，并运用公式解决一些具体问题，为学生今后的学习及生活更好地运用数学作准备
    学情分析

初三学生有一定的知识水平和自主学习、解决问题能力，在此基础上通过教师引导，学生自主发现探索扇形概念，类比弧长公式的探索过程尝试探索扇形面积计算公式，运用公式解决实际问题。           
    教学目标 
1.掌握扇形的概念并经历扇形面积公式的推导过程，能运用扇形面积公式进行有关计算。
2. 通过扇形面积公式的推导过程与运用，发展学生分析问题、解决问题及计算的能力。
3.通过扇形概念的发现和扇形面积公式的推导，发展学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力。并体会数学与实际生活的联系。
   教学重点和难点
教学重点：扇形面积公式的导出及应用
教学难点：用公式解决实际问题  

教学过程

一、创设情景，揭示课题

情景一   多脚的周华家共有八口人，十月年期间，在蒙自一家蛋糕店工作的姐姐回到家中过年，给家人带回了一个14寸的圆形蛋糕。晚饭过后，全家人一起到客厅分享姐姐带回的蛋糕，他们这样分的：

[师]在分蛋糕的过程中看到了哪些学过的数学知识?

[生]把蛋糕看作是一个圆，切蛋糕的中心就是圆的圆心，每一份蛋糕的边就是圆的半径，半径所形成的角是圆心角，圆心角所对的部分是圆弧。

观察图片，找出一份蛋糕的特征，是由半径与圆心角所对的弧构成的图形，师生一起总结形成扇形概念。

扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。如图：记作“扇形OAB”或“扇形OBA”

巩固练习1（加深学生对扇形定义的理解）

[生]（3）、（5）是扇形，因为是由半径和圆心角所对的的圆弧构成的图形，（1）、（2）、（4）不是。

情景二   再现情景一，呈现对话。如下：

  姐姐：弟弟，姐姐考考你。今晚我们分蛋糕，每个人获得蛋糕面积是多少呢？

  周华思考一会，说到：姐，这难不倒我。但你必须先回答我一个问题？

  姐姐：你说吧，什么问题？

周华：至少给我这个蛋糕的一个信息吧！

姐姐想了想，说：这个蛋糕是14寸的，也就是说这个蛋糕直径大约是46cm。

周华沉默一分钟后，答道：我们每个人分得蛋糕的面积是… …

[师]请聪明的你也想一想周华回答了什么呢？

[生]

[师]我们是根据把蛋糕平均分为八份，一份占整个蛋糕的1/8而得到的，那如果不是平均分该怎么计算分得的面积呢。这节课我们就来学习怎么计算一个一般扇形的面积。

[师]半径为R的圆,面积是多少？相当于多少度的圆心角所对的面积呢？

[生]圆的面积是S=πR2，相当于360°圆心角所对面积。

[师] 我们知道：圆的面积是，.那么圆心角是1°的扇形面积是圆面积的多少呢？面积是多少？

[生] 圆心角是1°的扇形面积是圆面积的    ，面积是        。

[师] 我们刚刚学过圆心角是1°的扇形面积是         ，那90°圆心角所对的扇形面积是1°圆心角所对的扇形面积的多少倍呢？面积是多少？如果是n°的圆心角呢呢？

[生] 90°圆心角所对的扇形面积是1°圆心角所对的扇形面积的90倍，面积是

90×       。n°的圆心角所对的扇形面积是1°圆心角所对的扇形面积的n倍，面积是

πR2 。

师生总结，得到扇形面积公式

若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积为S，则：

巩固练习2（公式运用）

1.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S扇=            。

2.已知扇形面积为   ，圆心角为120°，则这个扇形的半径R=__      __ 。

3.扇形面积大小（      ）

      (A)只与半径长短有关

      (B)只与圆心角大小有关

      (C)与圆心角的大小、半径的长短有关

答案：1、       2、2        3、C

二、例题讲解：102页例2

例、如图，水平放置的一个圆柱形排水管道的横截面半径为0.6m，其中水高0.3cm，求截面上有水部分的面积（结果精确到0.01cm2）．

分析：要求图中阴影（弓形）面积，没有直接的公式，需要转化为图形组合的和差问题，即扇形面积与三角形面积的差。容易想到做辅助线利用垂径定理，先根据公式分别求出扇形和三角形面积，问题得到解决。

解：连接OA，OB，作弦AB的垂线OC，垂足为D,连接AC,则AD=BD.

∵OC=0.6，CD=0.3，

∴OD=OC－CD=0.3,

∴OD= CD

∵AD⊥DC,

∴AD是线段OC的垂直平分线，

∴AC=AO=OC.

∴∠AOD=60°,从而∠AOB=120°

S扇形OAB=

在Rt⊿AOD中∵OA=0.6,OD=0.3

∴AD=0.3，

∴AB=0.6，S⊿OAB=

∴S= S扇形OAB- S⊿OAB≈0.22（m2）

所以截面上有水部分的面积约为0.22m2。

三、弧长与扇形面积的关系

[师]我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝πR，n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形＝πR2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n．半径R有关系，因此l和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗？请大家互相交流．

[生]∵l＝πR，S扇形＝πR2，

∴πR2＝R·πR．∴S扇形＝lR．

四、课时小结

本节课学习了如下内容：

1．扇形的概念;

2．探索扇形的面积公式S＝πR2，并运用公式进行计算；

3．探索弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方．

五、课后作业

课本116页第8题

六、板书设计

§24．4  扇形的面积

1.扇形定义：

2、S扇＝πR2 =lR

3．扇形面积的应用．